Question

已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n²-4n﹙n=1,2,3﹚.求证数列﹛an－2n＋1﹜为等比数列

Answer 1

Sn=2an+n^2-4n
S(n-1)=2a(n-1)+(n-1)^2-4(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)+(2n-1)-4
即an-2a(n-1)+2n-5=0
所以an-2n+1=2(a(n-1)-2(n-1)+1)
所以{an-2n+1}为等比数列，公比为2

Answer 2

解：根据题意得到 Sn=S(n-1)+an = 2an+n²-4n
an= S(n-1)- n² +4n
S1=2a1+1-4
S1=a1
a1= -1^2+4 所以 a1=3
a2= S1-2^2+8 a2=7
a3=S2-3^2+12 a3=13
a4=S3-4^2+16 a4=23

a1=2^1+2*1-1
a2=2^2+2*2-1
a3= 2^3+2*3-1
a4=2^4+2*4-1

假设 an=2^n+2n-1
下面证明an+1也满足该通项式

则 Sn= a1+a2+......+an
=2^1+2^2+.....+2^n +2(1+2+3+...+n)-n
=2^(n+1)-2 +n(n+1)-n
=2^(n+1)-2 +n^2
a(n+1)=S(n)- （n+1）² +4（n+1）
=2^(n+1)-2 +n^2 -（n+1)^2 +4(n+1)
=2^(n+1)-2+ n^2 -(n^2+2n+1)+4(n+1)
=2^(n+1)-2-(2n+1)+4(n+1)
=2^（n+1）+2（n+1）-1
所以a（n+1）也成立。
、所以数列
﹛an－2n＋1﹜=｛2^n+2n-1-2n+1｝=｛2^n｝所以为等比数列。
望采纳