Question

定积分证明题

设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt（从0到x）,若f(x)为奇函数，
（1）证明F(x)为奇函数
（2）讨论F(x)满足什么条件，F(x)在(-∞,+∞)上单调递增

Answer 1

（1）F(x)=∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt
F(-x)=∫(从0到-x) (-2x-4t)f(t)dt 令t=-y，dt=-dy，t从0到-x，y从0到x
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(-y)(-dy) f(x)为奇函数，故f(-y)=-f(y)
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(y)dy
=- ∫(从0到x) (2x-4y)f(y)dy
=-∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt=-F(x)
故F(x)为奇函数 。
（2）由于F(x)为奇函数，要想在(-∞,+∞)上单调递增，只需在[0,+∞)单调递增。
当x≥0时，只需
F'(X)=d[∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt]/dx
=d[∫(从0到x) 2xf(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=d[2x∫(从0到x) f(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=2∫(从0到x) f(t)dt+2x*f(x)-4xf(x)
=2∫(从0到x) f(t)dt-2x*f(x)
=2x[f(ξ)-f(x)]≥0恒成立，对0<ξ<x
也即f(ξ)>f(x)
f(x)只需单调递减即可。

Answer 2

(1)F(-x)=∫<0,-x>(-2x-4t)f(t)dt=∫<-x,0>(2x+4t)f(t)dt
F(x)=∫<0,x>(2x-4t)f(t)dt
F(-x)+F(x)=∫<-x,x>2xf(t)dt+∫<-x,0>4tf(t)dt-∫<0,x>4tf(t)dt
因为f(x)为奇函数，所以xf(x)为偶函数
所以∫<-x,x>f(t)dt=0
∫<-x,0>tf(t)dt=∫<0,x>tf(t)dt
所以F(-x)+F(x)=0

(2)F(x)=2x∫<0,x>f(t)dt-4∫<0,x>tf(t)dt
F'(x)=2∫<0,x>f(t)dt+2xf(x)-4xf(x)=2∫<0,x>f(t)dt-2xf(x)
F''(x)=2f(x)-2f(x)-2xf'(x)=-2xf'(x)

显然F'(0)=0
所以若使F(x)单增，0为F(x)的拐点
且当x<0时，F''(x)<0；当x>0时，F''(x)>0
所以f'(x)<0
即f(x)在R上单调递减

Answer 3

令G（x）是∫f(t)dtF(x)=1/2a ∫f(t)dt=1/2a（G（x+a）-G（x-a））当a趋于0时，就是求G（x）的导数，那就是f（x）