Question

一道数学立体几何难题，望高手赐教

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，P为ABCD内的动点，且点P到直线MB1的距离为根号3，则∠APB的最大

Answer 1

说明：立体几何难点在于正确的画图，合理的想象，只要能成功转变平面几何，问题就容易得多了。
先给结论吧！当MP平行于AD，PM⊥AB，PM=√3，AM=BM=AB/2=1，此时<APB最大。
由图可看出，当满足条件的P点离AB越近时，<APB越大，当最近时，对应最大。其余的点构成的<APB均是先前的角对应三角形的内角，均小于外角。
因为，必定存在，点P到直线MB1的距离h，垂足为Q，点P与M的距离MP，满足勾股定理。
h^2+PQ^2=MP^2
h^2=MP^2-PQ^2
h<MP
只有当PQ=0时，即h最大=MP=√3时，MP⊥MB1，<APB最大。
可求，<APB由余弦定理得。<APB=(AP^2+BP^2-AB^2)/(2AP*BP)（注，本题有特殊角度，所以直接求）
由 MP⊥MB1
AM=BM
得⊿APB为等腰三角形
在⊿APB中，AM=BM=AB/2=1
MP=√3
MP⊥MB1
在Rt⊿AMP中，tan<APM=AM/MP=1/√3=√3/3，因此<APM=30º
所以<BPM=<APM=30º
所以<APB=<APM+<BPM=30º+30º=60º
完毕，请批评指正。

Answer 2

　　

 此题很好解，P离开AB距离越近，角APB越大，当且仅当PM=根号3时，即PM垂直于MB1时角最大，(此时PM适好为中垂线，若当P到AB距离一定时，P在中垂线上角最大。)易得最大角为60度。