Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上的一点，F是线段BC延长线上的一点，且CF=AE，连接BE、EF

（1）若E是线段AC的中点，求证BE=EF
（2）若E是线段AC或AC延长线上的一点，其他条件不变，线段BE，EF有怎样的数量关系？

Answer 1

（1）BE=AE*根号3 角EBC=60度/2=30度 CF=AE BF=3*AE
余弦定理：EF的平方=BE的平方+BF的平方-2*BE*BF*cos30度=3*AE的平方+9*AE的平方-2*（根号3*AE）*（3*AE）*（根号3）/2=3*AE的平方 得EF=AE*根号3=BE 即BE=EF
（2）连接DE、DF。知三角形CBE全等于三角形CDE，有角CBE=角CDE，BE=DE。又由角DCF=角BAE，CF=AE，DC=AE，知三角形CDF全等于三角形ABE，有DE=DF。角ABE=角CDF，所以角FDE=角ABE+角CBE=60度。知三角形DEF为等边三角形，有EF=DE，即BE=EF。