Question

设函数f(x)=m-根号下x+3,.若存在实数a,b(a<b),使f(x)在(a,b)上的值域为(a,b),则实数m的取值范围是

答案是（-9/4,-2]

Answer 1

f(x)=m-√(x+3)
f'(x)=-(1/2)*(1/√(x+3,)):＜0
f(x)是减函数
f(x)max=f(a)=b
f(x)min=f(b)=a
m-√（a+3）=b
m-√（b+3）=a
两式相减√(a+3)-√(b+3)=a-b
即：√(a+3)-√(b+3)=（a-3）-（b-3）
即：√(a+3)+√(b+3)=1
且 2m=a+b+√(a+3)+√(b+3)=a+b+1
设p=√(a+3)，q=√(b+3)， 则
p+q=1, a=p²-3, b=q²-3=（1-p）²-3, p大于等于0且小于等于1.
所以 m=（a+b+1）/2= p²-p-2
因为p大于等于0且小于等于1， m的范围是(-9/4,-2]

追问

由√(a+3)-√(b+3)=（a-3）-（b-3）如何得到√(a+3)+√(b+3)=1

追答

m-√（a+3）=b
m-√（b+3）=a
得

√(a+3)-√(b+3)=a-b
求m的最值
令x=√(a+3)
y=√(b+3)
则√(a+3)-√(b+3)=a-b
得

x-y=x^2-3 -y^2+3
(x^2-x)-(y^2-y)=0
配方
(x^2-x+1/4)^2-(y^2-y+1/4)=0
(x-1/2)^2=(y-1/2)^2
即等价于①
x-1/2=y-1/2
即x=y (舍去 若x=y则 √(a+3)-√(b+3)=a-b=0与题设a<b矛盾)

或②
x-1/2=1/2-y
即x+y=1
下面应该会了吧````
望采纳```望加分```````

追问

那不应该是[-9/4,-2]吗

追答

设p=√(a+3)，q=√(b+3)， 则
p+q=1, a=p²-3, b=q²-3=（1-p）²-3, p大于等于0且小于等于1.
所以 m=（a+b+1）/2= p²-p-2
```````````````△因为p大于等于0且小于等于1， m的范围是(-9/4,-2]
`````为什么呢
首先m=（a+b+1）/2= p²-p-2
p=0或1时取最大值=-2
当p=1/2时取最小值
可是此时p=q=1/2
√(a+3)=√(b+3)

即a=b与题设矛盾````即取不到p=1/2
望采纳``望加分`````

追问

感谢，另外，高考会考这么BT的题目吗？

追答

这种应该是技巧题```如果是浙江就可能考(浙江小题连都很难)```如果是广东(我是广东考生)个人觉得不会考(不过什么都有可能看看广东11年数学的大题比这更难就知道了,好在我不是那届)````不过数学题最重要是基础题```前面选择填空一两个数字就5分``后面什么圆锥曲线算了一天算错了可能5分都没有````

Answer 2

减函数
故m-√(a+3)=b, m-√(b+3)=a.
化简2个方程即是 √(a+3)-√(b+3)=a-b 即，
√(a+3)-√(b+3)=a-b两边同时乘以（√(a+3)+√(b+3)）

（√(a+3)+√(b+3)）（√(a+3)-√(b+3)）=（a-b）（√(a+3)+√(b+3)）

a＋3－b－3＝（a-b）（√(a+3)+√(b+3)）
√(a+3)+√(b+3)=1
所以√(a+3)+√(b+3)=1
且 2m=a+b+1
设p=√(a+3)，q=√(b+3)， 则
p+q=1, a=p^2-3, b=q^2-3, p,q 均大于等于0且小于等于1.
因为2m=a+b+1，a=p^2-3, b=q^2-3,

即2m＝p^2-3＋q^2-3＋1＝p^2＋q^2-5
因为p+q=1
2m＝p^2＋（1－p）^2-5＝2p^2－2p－4
所以 m= p^2-p-2
因为p大于等于0且小于等于1， m的范围是（-9/4,-2]