Question

已知F1（-2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E． （1）求

已知F1（-2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．

Answer 1

解答：
（1）利用双曲线的定义，
轨迹E是双曲线一支，离F1远的那支，即右支，
∴ 方程x²-y²/3=1 (x>0)
（2）取特殊值，直线与x轴垂直
可以得到M(5,0)或M(-1,0)
下面证明即可
设直线 y=k(x-2)
与双曲线方程3x²-y²=3联立
(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0
∴ x1+x2=4k²/(k²-3)
x1*x2=(4k²+3)/(k²-3)
① M(-1,0)
MP.MQ
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
= (x1+1)(x2+1)+k²(x1-2)(x2-2)
=(k²+1)x1x2+(1-2k²)(x1+x2)+4k²+1
将x1+x2,x1*x2 代入
即得MP.MQ=0
∴ M(-1,0)满足题意
②同理，M(5,0)也满足题意

Answer 2

|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2||知，点P的轨迹是以F1F2为焦点的双曲线右支
得c=2，2a=2，
a=1
b^2=3
动点P的轨迹方程是:x^2-y^2/3=1(x≥1)
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2）
与双曲线方程联立消y得（k^2-3）x^2-4k^2x+4k^2+3=0，
解得k^2>3
MP⊥MQ，
得3（1-m^2）+k^2（m^2-4m-5）=0对任意的k^2>3恒成立
1-m^2=0,m^2-4m-5=0
解得m=-1
当m=-1时，MP⊥MQ．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）成立，
当m=-1时，MP⊥MQ．