Question

拉格朗日中值定理的条件中：①在闭区间[a，b]上连续②在开区间(a，b)内可导。那么…。 此处将①

拉格朗日中值定理的条件中：①在闭区间[a，b]上连续②在开区间(a，b)内可导。那么…。
此处将①条件去掉。将②条件改成在闭区间[a，b]上可导。因为可导一定连续。所以只有“在闭区间[a，b]上可导"这一条件是否也能使拉格朗日中值定理成立？历代数学家为什么不再对该定理的条件作进一步精简？若依我所改，不能使拉格朗日定理成立，则为什么？不是有可导一定连续了吗？

Answer 1

你好，我是一名数学老师，我来回答这个问题。
首先，你说可导函数一定是连续的，这是对的。“可导一定连续”的意思是指函数y=f（x）在点x处可导，则函数在该点连续。（详见高等数学同济5版P84页）
但“在闭区间[a，b]上可导"是指f（x）在开区间（a，b）内可导，且f（x）在点a的右导数和在点b的左导数存在。（详见高等数学同济5版P82页）
“在闭区间[a，b]上连续"是指f（x）在开区间（a，b）内连续，且f（x）在点a右连续和在点b左连续。（详见高等数学同济5版P61\P69页）
在点a右连续是指f（x）在点a的右导数存在且f（x）在点a的右导数等于f（a）。
条件“在闭区间[a，b]上可导"仅能说f（x）在点a的右导数存在，得不出f（x）在点a的右导数等于f（a）。所以，条件“在闭区间[a，b]上可导"推不出条件“在闭区间[a，b]上连续”，条件“在闭区间[a，b]上可导"无法替代“在闭区间[a，b]上连续”。
原创不易，望采纳。有问题还可以问我。

Answer 2

解：1题，属“∞/∞”型，用洛必达法则，∴k1=2lim(x→∞)e^(2x)/[e^(2x)+1]=2。
2题，∵(sinx)^5=[1-(cos)^2)]^2sinx=[1-2(cos)^2+(cosx)^4]sinx，
∴k2=-15∫(0,π/2)[1-2(cos)^2+(cosx)^4]d(cosx)=8。
3题，由题设条件，D={(x,y)丨-1≤x≤1，-1≤y≤x}，
∴k3=-3∫(-1,1)dx∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy。
而∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy={(1/2)y^2-xe^[(x^2-y^2)/2]}丨(y=-1,x)=(1/2)x^2-x-1/2+xe^[(x^2-1/2]。又，利用被积函数在x的积分区间是奇、偶函数的性质，
∴k3=-3∫(0,1)(x^2-1)=-3[(1/3)x^3-x]丨(x=0,1)=2。
4题，令y'-y=0，解得y=(c1)e^x。设y=v(x)e^x，代入原方程、经整理，有v'(x)=(1-x^2)e^(-x)。∴v(x)=[(x+1)^2]e^(-x)+c。∴y=(x+1)^2+ce^(-x)。又，y为二次函数，∴c=0。∴k4=4。
5题，由题设条件，D={(x,y)丨y≤x≤π/6，0≤y≤π/6}。交换积分顺序，D={(x,y)丨0≤y≤x，0≤x≤π/6}
∴k5=2∫(0,π/6)dx∫(0,x)(cosx/x)dy=2∫(0,π/6)cosxdx=2sinx丨(x=0,π/6)=1。

追问

您说的个啥哎？答非所问啊！

别捣乱啊！前辈

您这不是耽误事吗！！！

Answer 3

这样会使成立条件范围进一步缩小，因为原定理并没有强制要求两端点导数存在，也就是说原函数没必要在两端点各多存在一个左导数与右导数。

Answer 4

原条件更严格，你改了之后的条件更宽泛。就好比0小于1，和0小于5一样。都是对的，但范围不同。显然0小于1更严谨一些。

Answer 5

v，这个头发是非常好的，而且他这个的话，他子孙是是做选择题，而且他这个选择介绍做的非常好的