Question

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上

（1）.求椭圆C1的方程；
（2）.设直线l 同时与椭圆C1和抛物线C2：y^2=4x相切，求直线l 的方程
请详细讲解过程，灰常灰常感谢~~

Answer 1

（1）因为左焦点为F1(-1,0)，所以c=1
又因为点P(0,1)在C1上，所以b=1（你可以通过画图判断，也可以通过代入方程式求出）
则a=√2
所以方程为x²/2+y²=1
（2）设直线l：y=kx+b
因为直线l 同时与椭圆C1和抛物线C2：y^2=4x相切
所以分别联立直线与两曲线得：
（与椭圆）（1+2k²﹚x²+4kbx+2b²-2=0 ①
（与抛物线）k²x²+(2kb-4)x+b²=0 ②
分别令上面两式的△=0（即只有一解，也就是相切）
①得16k²b²-4×(1+2k²)(2b²-2)=0 化简得：4k²-2b²+2=0 ③
②得(2kb-4)²-4k²b²=0 化简得：kb=1 ④
联立③④，最后可以求得k=±1/√2
所以b=±√2
则直线方程为：y=x/√2+√2 或y=﹣x/√2﹣√2