Question

已知函数f(x)=ax2-2x+1<0对任意x∈[-2,-1]恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：由f(x)=ax²-2x+1＜0对任意x∈[-2,-1]恒成立，得
a＜(2x-1)/x²=1-(1-1/x)²对任意x∈[-2,-1]恒成立
则 a小于1-(1-1/x)²在x∈[-2,-1]的最小值即可
由-2≤x≤-1，得 1≤-x≤2,1/2≤-1/x≤1,3/2≤1-1/x≤2
则 9/4≤(1-1/x)²≤4，1-(1-1/x)²的最小值为1-4=-3
∴ a＜-3

追问

方法很巧妙，谢谢！但通常的解法好像不是这样的，能不能讲讲一般性的求法？

追答

解：f(x)=ax²-2x+1
①a=0时，f(x)=-2x+1对x∈[-2,-1]不成立；
②a＞0时，f(x)=ax²-2x+1，对称轴为x=1/a＞0，
f(x)在[-2,-1]为减函数，则 f(-2)＜0 即 a＜-5/4
此时，a无解；
③a＜0时，f(x)=ax²-2x+1，对称轴为x=1/a＜0，
则1/a≥-1，f(-1)＜0或1/a≤-2，f(-2)＜0或f(1/a)＜0
此时，得 a＜-3

Answer 2

a<-5/2,