Question

若a加b加c等于0，a的三次方加b的三次方加c的三次方等于0，求a的19次方加b的19次方加c的19次方的值。

好过程，最好用三元轮换对称式变形

Answer 1

首先证明abc中间至少一个0.因为a+b+c=0,所以a=-(b+c).带入a的三次方加b的三次方加c的三次方等于0。得到-3bc(b+c)=0.所以bc=0,或者b+c=0,则或者b=0,或者c=0,或者b+c=0,即a=0.所以a,b,c中至少一个零。假设a=0,则b+c=0，即b=-c.所以a的19次方加b的19次方加c的19次方=0+b的19次方加（-b）的19次方=0.不明白可追问。

追问

请用三元轮换对称式变形来解，其他的老师不让.

Answer 2

首先由恒等式a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca), 得abc = 0.
于是a^5+b^5+c^5 = (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2) = 0.
进而a^7+b^7+c^7 = (a+b+c)(a^6+b^6+c^6)-(ab+bc+ca)(a^5+b^5+c^5)+abc(a^4+b^4+c^4) = 0.
a^9+b^9+c^9 = (a+b+c)(a^8+b^8+c^8)-(ab+bc+ca)(a^7+b^7+c^7)+abc(a^6+b^6+c^6) = 0.
...
依此类推得a^19+b^19+c^19 = 0.