Question

高一物理电场求详解~

已知电荷q均匀分布在半球面AB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，如图所示，M是位于CD轴线上球面外侧，且OM=ON=L=2R。已知M点的场强为E，则N点的场强为（ ）
（A）E 　 （B）kq/(L^2)　 （C)kq/(L^2) (D)kq/(2R^2)-E
选D，为啥？求详解

Answer 1

不妨把半球面补成一个完整的球面。那么整个球面对于M处产生的场强相当于电荷集中在O点处产生的场强，此时 E(M新) = 2kq/(L^2) = kq/(2R^2)。
同时注意到，球面对于M点产生的场强可以看作是原半球面产生的场强加上新增半球面产生的场强之和，前者已知，为E，后者刚好就是所求的原题的N点场强EN，所以有 E(M新) = E + EN。
故而解得D答案。

追问

补成一个完整的球面后，为什么整个球面对于M处产生的场强相当于电荷集中在O点处产生的场强？

追答

这个结论是可以证明出来的。
最早我看到的证明是证明地球内部某点受到的万有引力等于该点处为半径的“地球”对该点的引力。这个结论可以用严格计算证出，大不了就是算积分稍微烦一些。于是进而产生一个推论，对于地球外部某一点来说，它所受到的地球引力等于地球质心处有一个质量为地球质量的质点产生的万有引力。这个结论也可以严格证出，大不了积分算起来复杂。
你要问的这个结论可以看作是地球引力的那个结论在电场中的一个推广。对于一个表面电荷分布均匀的完整球面来说，球外某点场强相当于集中在球心处的全部电荷产生。
场强定义式如下：
E = ∫(k/r^2)dq ，
而由于电荷在球面均匀分布，所以dq/dA = Q/(4πR^2)，从而有
E = ∫(k/r^2)Q/(4πR^2)dA
然后把作球面积分，即可得到结论。最后这步积分可能会有些烦，我没细算了。