Question

高中数学 通项公式 求解

高中数学 通项公式 求解 ，详细的解答过程，谢谢大家

Answer 1

解：(1) a₁=1/3；a₁+3a₂=2/3，故a₂=(1/3)(2/3-a₁)=(1/3)(2/3-1/3)=1/3²；
a₁+3a₂+3²a₃=3/3=1，故a₃=(1/3²)(1-a₁-3a₂)=(1/3²)(1-1/3-1/3)=1/3³；
a₁+3a₂+3²a₃+3³a₄=4/3，故a₄=(1/3³)(4/3-a₁-3a₂-3²a₃)=(1/3³)(4/3-1/3-1/3-1/3)=1/3⁴；
........................................................
a₁+3a₂+3²a₃+......+3ⁿ⁻¹a‹n›=n/3，故a‹n›=(1/3ⁿ⁻¹)(n/3-a₁-3a₂-3²a₃-.....-3ⁿ⁻²a‹n-1›)=1/3ⁿ；
即通项公式为a‹n›=1/3ⁿ；
(2)b‹n›=n/a‹n›；其前n项和S‹n›：
S‹n›=1×(1/3)+2×(1/3²)+3×(1/3³)+4×(1/3⁴)+........+n×(1/3ⁿ)...............(1)
3S‹n›=1×1＋2×(1/3)+3×(1/3²)+4×(1/3³)+..............+n×(1/3ⁿ⁻¹)...........(2)
(2)-(1)【错项相减】得：
2S‹n›=1+1/3+1/3²+1/3³+1/3⁴+......+1/3ⁿ⁻¹-n×(1/3ⁿ)
=(1-1/3ⁿ)/(1-1/3)-n/3ⁿ=(3/2)(1-1/3ⁿ)-n/3ⁿ
故S‹n›=(3/4)(1-1/3ⁿ)-n/(2×3ⁿ)=(1/4)[3-(3+2n)/3ⁿ]

Answer 2

解：a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-2)a(n-1)+3^(n-1)an=n/3 ①
a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3② （n代以n-1）
①-②得
3^(n-1)an=1/3
an=3^(-n)
验证a1=1/3，是满足条件的。
bn=n/an=n/3^(-n)=n*3^n
Sn=1*3^1+2*3^2+……+n*3^n ③
3Sn=1*3^2+2*3^3+……+(n-1)3^n+n*3^(n+1)④
错位相消，④-③得
2Sn=n*3^(n+1)-(1*3^1+1*3^2+……+1*3^n)
=n*3^(n+1)-3*(1-3^n)/(1-3)
=(n-1/2)*3^(n+1)+3/2
Sn=(2n+1)/4*3^(n+1)+3/4
=(n/2-1/4)*3^(n+1)+3/4
不明白请追问。

Answer 3

解：1）由题意：a1+3a2+3^2*a3+...+3^(n-1)*an = n/3,
那么a1+3a2+3^2*a3+...+3^(n-2)*an-1 = (n-1)/3
两式相减，有：3^(n-1)*an = 1/3
所以：an=1/3^n
2) bn = n/an = n*3^n
用错位相减法求和：
Sn = 1*3 + 2*3^2 +3*3^3 +...+n*3^n
3Sn= 1*3 ^2+ 2*3^3 +...+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
两式相减，所以：
-2Sn=3 +3^2+3^3+...+3^n-n*3^(n+1) =-3(1-3^n)/2-n*3^(n+1) =-3/2 +3^(n+1)(1/2-n)
∴ Sn = 3/4+3^(n+1)*(2n-1)/4

Answer 4

Answer 5

a1+3a2 + 3^2a3 + ……+3^（n-1）an = n/3 (1)
a1+3a2 + 3^2a3 + ……+3^（n-1）an + 3^（n）a(n+1) = (n+1)/3 (2)
(2)-(1)
3^（n）a(n+1) = (n+1)/3 - n/3
3^（n）a(n+1) = 1/3
a(n+1) = 1/3^（n+1）
an= 1/3^n
bn = n * 3^n
Sn = 3 + 2 * 3^2 + 3 *3^3 + …… +n * 3^n (3)
3Sn = 3^2 + 2 * 3^3 + 3 *3^4+ …… +n * 3^(n+1) ( 4)
(4)-(3)
2Sn = n * 3^(n+1) - ( 3 + 3^2 + 3^3 + ……+ 3^n)
2Sn = n * 3^(n+1) - 3（1-3^n）/( 1-3 ) //Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 等比数列

Sn = 可以求出
不会追问，但须采纳