Question

一个数学题求大神解答

正整数n的各个位的十进制数是从左到右增加的（如果数a出现在数b的右边那么a>b),找到9n的和，并证明
这是原题
The decimal digits of a positive integer n increase from left to right. (So if the digit a appears to the right
of digit b then b < a.) Find the sum of the digits of 9n. You must give a full justification for your answer.

Answer 1

答案是9。

是n的十进制表达式为a(1)a(2)...a(k)，共k位数字，根据条件a(1)<a(2)<...<a(k)。
则9n=10n-n。

列个长式减法，就很明白了：

a(1) a(2) a(3) ... a(k ) 0
- a(1) a(2) ... a(k-1) a(k)
------------------------------------

马上就能知道，这个减法操作的个位数是要借位的，然后十位数以上就不用再借位了，因为a(1)<a(2)...<a(k)的缘故。

因此，9n的第1位是a(1)，第2位是a(2)-a(1)，第3位是a(3)-a(2)，。。。，第(k-1)位是a(k-1)-a(k-2)，第k位是a(k)-a(k-1)-1，第(k+1)位是10-a(k)。

求和便是=a(1)+a(2)-a(1)+...+a(k)-a(k-1)-1+10-a(k)=10-1=9，那些a们全部消去了，不相信的话可以亲自验证。

Answer 2

题目应为9n各位数字之和，为9
首先个位数字之和必为9倍数（该数9n可被9整除）

追问

首先你答案肯定是错的，其次你的证明太牵强了。。9n能被9 整除。。这个不用你证明。。。

追答

取任意一个符合条件的数n，将他每位数字减一，为m,9n各位数字之和与9m比较，9n-9m=9...9,9位数与n位数相同，相当于9m比9n首位小1（若n首位为1，则退1位），末位大1，各位数和相同。n后位比位大各位数减1，9m末位数不为9（若为9，则m末位为1，即m为1，则递归到最后），可递归，且前一位必比后一位先减到0，那么每位数可减1，可以递归。经递归到最后得1,9倍为9
好了吧
我答案是对的，虽然我不是大神

Answer 3

找到9n的和,这句神马意思?
那英语是找到9n各位数字的和并证明.
测试了几次答案应该是9
这个可以证明也可以穷举,因为这样的数是有限个.按个位98765432来列举