Question

跪求回答这三个反常积分对应的求极限问题,最好有详细过程并说明原因

（1）反常积分:积分下限为-1,上限为0,被积函数为 (41e^(1/x) ) / x^3 答案是-82/e
此题算到最后一步关键在这个极限:
t→0时, lim ( e^(1/t) - e^(1/t) / t ) = ??
尤其是减号右边好像是0/0型但是洛必达法则用了还是0/0啊?

(2)反常积分:积分下限为0,上限为3,被积函数为 32/(8-6x+x^2) 答案是该积分发散
此题算到最后一步关键在这个极限：
a从右侧→2，b从左侧→2，lim ln(b-2)-ln(a-2) = ？？如何确定其发散的

(3)反常积分:积分下限为负无穷,上限为正无穷,被积函数为 x/(7+x^2) 答案是该积分发散
此题算到最后一步关键在这个极限：
a→负无穷，b→正无穷，lim ln(7+b^2)-ln(7+a^2) = ？？代入是无穷-无穷啊，如何确定其发散的

注：上述题所给答案都是必然正确的，但各个算到最后极限是人为的，不一定对，各位高手若认为是极限本身有问题，可将该反常积分从头计算以确认。

Answer 1

无穷加减的不定型就要化成分数形式

1.换元，然后看e^(1/x)/x^3
令t=1/x, -1<t<负无穷
dt=-dx/x^2
原式=-∫te^tdt
=-[∫td(e^t)]
=-[te^t-∫e^tdt]
=(1-t)e^t
带入负无穷得到无穷*0，你可以化成(1-t)/e^(-t)罗比达一次得到极限是0
带入-1得到2*e^(-1)
所以一减得到-2*e^(-1)
再乘41得到-82e^(-1)

2.凑平方
x^2-6x+8=(x-3)^2-1
令t=x-3, -3<t<0
原式=32∫dt/(t^2-1)
然后分式可以分解2/(t^2-1)=1/(t-1)-1/(t+1)
原式=16[∫dt/(t-1)-∫dt/(t+1)]
第二个积分在t=-1处是奇异点，且由于其分母上t+1是一阶，所以发散

3.∫xdx/(7+x^2)
令t=7+x^2
dt=2xdx
原式=(1/2)∫dt/t
而t是从无穷到0再从0到无穷
因为∫dt/t在t=0处奇异，阶数为1，由反常积分判定法，所以积分发散，

Answer 2

无限的减法，不定型成各种馏分

1。换人，然后在e ^（1 / x）/ x ^ 3

让t = 1 / x，-1 <T <负无穷大

DT =-DX / X ^ 2 原式= - ∫TE ^ TDT

= - [∫TD（E ^ T）]

= - [TE ^ T-∫E ^ TDT]

=（1-T ）E ^ T

到负无穷大，无穷远* 0，你可以化成（1-T）/ E ^（-T）罗比达时间限制为0

成-1 2 * E ^（-1 ）

一减-2 * E ^（-1）

乘以41 GET-82E ^（-1）

2。港方

X ^ 2-6X +8 =（x-3）^ 2-1

所以T = X-3，-3 <T <0

原式= 32∫dt的/（T ^ 2-1）

，然后部分可以分解2 /（T ^ 2-1）= 1 /（T-1）-1 /（T +1）

原式= 16 [ ∫（DT）/（T-1） - ∫（DT）/（T +1）]

第二个积分在t = -1在一个奇点，而且因为它的分母T +1就是命令，这样的分歧 BR p>∫XDX /（1 + x ^ 2）

所以T = 7 + x ^ 2

DT = 2xdx

原=（1/2）∫DT /吨

和t是从0到无穷大
从无限远到“0”，因为在t = 0∫DT / T，奇异的订购方法确定的广义积分，所以整体分歧

Answer 3

无限的减法，不定型成各种馏分

1。换人，然后在e ^（1 / x）/ x ^ 3
让t = 1 / x，-1 <T <负无穷大
DT =-DX / X ^ 2
原式= - ∫TE ^ TDT
= - [∫TD（E ^ T）]
= - [TE ^ T-∫E ^ TDT]
=（1-T ）E ^ T
到负无穷大，无穷远* 0，你可以化成（1-T）/ E ^（-T）罗比达时间限制为0
成-1 2 * E ^（-1 ）
一减-2 * E ^（-1）
乘以41 GET-82E ^（-1）
2。港方
X ^ 2-6X +8 =（x-3）^ 2-1
所以T = X-3，-3 <T <0
原式= 32∫dt的/（T ^ 2-1）
，然后部分可以分解2 /（T ^ 2-1）= 1 /（T-1）-1 /（T +1）
原式= 16 [ ∫（DT）/（T-1） - ∫（DT）/（T +1）]
第二个积分在t = -1在一个奇点，而且因为它的分母T +1就是命令，这样的分歧 BR />
∫XDX /（1 + x ^ 2）
所以T = 7 + x ^ 2
DT = 2xdx
原=（1/2）∫DT /吨
和t是从0到无穷大
从无限远到“0”，因为在t = 0∫DT / T，奇异的订购方法确定的广义积分，所以整体分歧

Answer 4

无限的减法，不定型成各种馏分

1。换人，然后在e ^（1 / x）/ x ^ 3
让t = 1 / x，-1 <T <负无穷大
DT =-DX / X ^ 2
原式= - ∫TE ^ TDT
= - [∫TD（E ^ T）]
= - [TE ^ T-∫E ^ TDT]
=（1-T ）E ^ T
到负无穷大，无穷远* 0，你可以化成（1-T）/ E ^（-T）罗比达时间限制为0
成-1 2 * E ^（-1 ）
一减-2 * E ^（-1）
乘以41 GET-82E ^（-1）
2。港方
X ^ 2-6X +8 =（x-3）^ 2-1
所以T = X-3，-3 <T <0
原式= 32∫dt的/（T ^ 2-1）
，然后部分可以分解2 /（T ^ 2-1）= 1 /（T-1）-1 /（T +1）
原式= 16 [ ∫（DT）/（T-1） - ∫（DT）/（T +1）]
第二个积分在t = -1在一个奇点，而且因为它的分母T +1就是命令，这样的分歧 BR />
∫XDX /（1 + x ^ 2）
所以T = 7 + x ^ 2
DT = 2xdx
原=（1/2）∫DT /吨
和t是从0到无穷大
从无限远到“0”，因为在t = 0∫DT / T，奇异的订购方法确定的广义积分，所以整体分歧

Answer 5

无限的减法，不定型成各种馏分

1。换人，然后在e ^（1 / x）/ x ^ 3
让t = 1 / x，-1 <T <负无穷大
DT =-DX / X ^ 2
原式= - ∫TE ^ TDT
= - [∫TD（E ^ T）]
= - [TE ^ T-∫E ^ TDT]
=（1-T ）E ^ T
到负无穷大，无穷远* 0，你可以化成（1-T）/ E ^（-T）罗比达时间限制为0
成-1 2 * E ^（-1 ）
一减-2 * E ^（-1）
乘以41 GET-82E ^（-1）
2。港方
X ^ 2-6X +8 =（x-3）^ 2-1
所以T = X-3，-3 <T <0
原式= 32∫dt的/（T ^ 2-1）
，然后部分可以分解2 /（T ^ 2-1）= 1 /（T-1）-1 /（T +1）
原式= 16 [ ∫（DT）/（T-1） - ∫（DT）/（T +1）]
第二个积分在t = -1在一个奇点，而且因为它的分母T +1就是命令，这样的分歧 BR />
∫XDX /（1 + x ^ 2）
所以T = 7 + x ^ 2
DT = 2xdx
原=（1/2）∫DT /吨
和t是从0到无穷大
从无限远到“0”，因为在t = 0∫DT / T，奇异的订购方法确定的广义积分，所以整体分歧

Answer 6

无限的减法，不定型成各种馏分

1。换人，然后在e ^（1 / x）/ x ^ 3
让t = 1 / x，-1 <T <负无穷大
DT =-DX / X ^ 2
原式= - ∫TE ^ TDT
= - [∫TD（E ^ T）]
= - [TE ^ T-∫E ^ TDT]
=（1-T ）E ^ T
到负无穷大，无穷远* 0，你可以化成（1-T）/ E ^（-T）罗比达时间限制为0
成-1 2 * E ^（-1 ）
一减-2 * E ^（-1）
乘以41 GET-82E ^（-1）
2。港方
X ^ 2-6X +8 =（x-3）^ 2-1
所以T = X-3，-3 <T <0
原式= 32∫dt的/（T ^ 2-1）
，然后部分可以分解2 /（T ^ 2-1）= 1 /（T-1）-1 /（T +1）
原式= 16 [ ∫（DT）/（T-1） - ∫（DT）/（T +1）]
第二个积分在t = -1在一个奇点，而且因为它的分母T +1就是命令，这样的分歧 BR />
∫XDX /（1 + x ^ 2）
所以T = 7 + x ^ 2
DT = 2xdx
原=（1/2）∫DT /吨
和t是从0到无穷大
从无限远到“0”，因为在t = 0∫DT / T，奇异的订购方法确定的广义积分，所以整体分歧