Question

已知两圆C1：x²+y²-2y=0,C2:x²+(y+1)²=4的圆心分别是C1、C2，P为一个动点

且直线PC1，PC2的斜率之积为-1/2（1）求动点P的轨迹M的方程；（2）是否存在过点A（2,0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得IC1CI=IC1DI？若存在，求直线I的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）C1(0，1),C2(0，-1),设P(x,y),依题意
（y-1)(y+1)/x^=-1/2,
∴x^/2+y^=1,x≠0，①这是动点P的轨迹M的野渗汪方程颂仔.
（2）设l:x=my+2,②
代入①*2得
m^y^+4my+4+2y^=2,
(m^+2)y^+4my+2=0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),y1≠y2,则
y1+y2=-4m/(m^+2),
由②，x1+x2=m(y1+y2)+4,
x1-x2=m(y1-y2),
由|C1C|=C1D|得
x1^+(y1-1)^=x2^+(y2-1)^,
∴(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-2)(y1-y2)=0,
∴m[m(y1+y2)+4]+y1+y2-2=0,
∴(m^+1)(-4m)/(m^+2)=2-4m,
∴2m^3+2m=(2m-1)(m^+2)=2m^3-m^+4m-2,
∴m^-2m+2=0,无实根，
∴不存喊袜在满足题设的直线l.