Question

双曲线x²/a²-y²/b²=1（a>b>0）

如图，双曲线x²/a²-y²/b²=1（a>b>0）的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2。若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D。则
（1）求双曲线的离心率e
（2）求菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S1/S2

Answer 1

（1）B2(0，b),F2(c,0),
B2F2：x/c+y/b=1,即bx+cy-bc=0,①
∴OA=bc/√(b^+c^)=a=OA2,
∴b^c^=a^(b^+c^),b^=c^-a^,
∴c^4-a^c^=2a^c^-a^4,
∴c^4-3a^c^+a^4=0,
∴e^4-3e^+1=0,e>1,
∴e^=(3+2√2)/2,
∴e=1+√2/2.
（2）OA⊥B2F2，
∴OA:cx-by=0,②
由①，②解得x=cb^/(b^+c^),y=bc^/(b^+c^),
矩形ABCD的面积S2=4xy=4b^3c^3/(b^+c^)^,
菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc,
∴S1/S2=(b^+c^)^/(2b^c^)=(2c^-a^)^/[2(c^-a^)c^]
=(2e^-1)^/[2(e^-1)e^]=(2+2√2)^/[(3+2√2）（1+2√2）/2]
=2(12+8√2）/（11+8√2）
=2（12+8√2）（8√2-11）/7
=2（8√2-4）/7
=（16√2-8）/7.

追问

第一问：怎么由倒数第三步：e^4-3e^+1=0 得到倒数第二步 e^=(3+2√2)/2 的呀？