Question

高二数学导数相关问题求解!!!!急…^^回答得好的加分

已知a>0,函数f(x)=x^3-a,x属于[0，+无穷),设x1>0,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为L (1) 求L的方程 (2) 设L与x轴交点是(x2,0),证明:x2大于等于a^(1/3) 因为想趁着假期自己先预习一下,但是遇到了不少问题,希望各位多多包涵^^

Answer 1

（1）设L的斜率为K
∵f '(x)=3*x²
∴K=f ' (x1)=3*(x1)²
∴L：y-(x1)³+a=3(x1)² *（x-x1）即 y-(x1)³+a=3(x1)² x-3(x1)³
（2）将点（x2，0）代入直线方程L
得 x2=(2/3)*x1 + a / 3(x1)²
∵a>0，x1>0
∴x2=(2/3)x1 + a / 3(x1)²
=(1/3)x1 + (1/3)x1 + a / 3(x1)²≥ ³√(a/27) = ³√a 得证

追问

我想请问LZ如何从

x2=(2/3)x1 + a / 3(x1)²
=(1/3)x1 + (1/3)x1 + a / 3(x1)²

得到 x2 ≥ ³√(a/27) = ³√a？？？

求详解！谢谢O(∩_∩)O

追答

这是平均值不等式公式（对于a(i)≥0，i=1,2,3，....n，n为正整数，记A(n)=(a1+a2+a3+....+an)/n，G(n)=(a1*a2*a3*...*an)^(1/n)，则恒有A(n)≥G(n)） 得来的啊，具体证明要用到数学归纳法
给你简单证明3个整数平均值的不等式，如下：
若a≥0，b≥0，c≥0；则
∵（√a-√b）²≥0
∴(a+b)/2≥√ab
∴(a+b+c)/3=[(a+b+c)+(a+b+c)/3]/4
=[(a+b)/2+(c+(a+b+c)/3)/2]/2
≥[√ab +√c(a+b+c)/3]/2
≥√(√ab*√c(a+b+c))=[abc*(a+b+c)/3]^(1/4)
两边进行4次方，得
(a+b+c)^4 / 3^4 ≥abc*(a+b+c)/3
两边除以(a+b+c)/3，得
(a+b+c)³/3³ ≥abc
两边开立方，得
(a+b+c)/3 ≥³√(abc)

所以，同理
x2=(2/3)x1 + a / 3(x1)²
=(1/3)x1 + (1/3)x1 + a / 3(x1)²≥ ³√(a/27) = ³√a

Answer 2

(1)f`(x)=3x^2 f(x1)=x1^3-a
曲线y=f(x)在点M处切线斜率为3x1^2
切线方程y-(x1^3-a)=3x1^2（x-x1)
即y=3x1^2x-2x1^3-a
(2)y=0
x2=(2x1^3+a)/3x1^2
令f(x)=(2x1^3+a)/3x1^2
f`(x)=2/3+2/3a/x1^3
令f`(x)=0 x=a^(1/3)
x∈﹙0,a^(1/3)﹚f`(x)<0 f(x)递减
x∈﹙a^(1/3)﹚,+∞﹚ f`(x)>0 f(x)递增
x=a^(1/3)时取最小值
此时，f(x)=a^(1/3)
所以x2≥ a^(1/3)