Question

高中收缩函数问题

需要详细过程 谢谢
不用导数方法做给50分

Answer 1

(1)解析：∵函数f(x)对于任意x1,x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|
∴在区间D上满足-1<=f’(x)<=1
∵f(x)=x^2/4+x/2==>f’(x)=x/2+1/2,D=[-1,1]
f’(x)∈[0,1]
∴是收缩函数

(2)解析：∵函数f(x)=k/(x+2),D=[-1,+∞)
F’(x)=-k/(x+2)^2
F’(-1)=-k==>|-k|<=1==>-1<=k<=1
∴k存在，k的取值范围为-1<=k<=1

追问

可不可以不用导数做？导数还没有学

追答

(1)解析：∵函数f(x)对于任意x1,x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|-1<=k<=1
∴k存在，k的取值范围为-1<=k<=1

Answer 2

1 把题目中的不等式右边移到左边得|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|<=1,也就是说任意两点连线的斜率在-1到1之间
对f(x)求导得导函数为0.5x+0.5在[-1,1]范围内属于[0,1]故为收缩函数
2 对f(x)求导得导函数为-k/(x+2)^2 ，令其绝对值小于等于1就行，即|k/(x+2)^|<=1 把x=-1代入解得|k|<=1

Answer 3

运用拉格朗日中值定理，导一下就好。也就是说导数值在-1到1之间。
反证若存在使这不等式不成立的点，必有斜率绝对值大于1，那么导数值也大，与上条件不符。