Question

求函数y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和

Answer 1

1.y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinπx的图像关于点(1,0)对称(-2≤x≤4)，设点(a,b)是两函数的一个交点，则(2-a,-b)也是两函数的交点，a+(2-a)=2.
2)y=2sinπx周期是2，|y|<=2,在区间[1,4]图像有一个半周期，在[1,2]y<0,在[3,4]y<0;而y=1/(1-x)在区间[1,4],-2<=y<0，所以在区间[1,4]两个函数有4个交点，
3）由对称性,两个函数有四对交点，所以求函数y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和为8.

Answer 2

1.y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinπx的图像关于点(1,0)对称(-2≤x≤4)，设点(a,b)是两函数的一个交点，则(2-a,-b)也是两函数的交点，a+(2-a)=2.
2)y=2sinπx周期是2，|y|<=2,在区间[1,4]图像有一个半周期，在[1,2]y<0,在[3,4]y<0;而y=1/(1-x)在区间[1,4],-2<=y<0，所以在区间[1,4]两个函数有4个交点，
3）由对称性,两个函数有四对交点，所以求函数y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和为8.

Answer 3

设t=x-1,-2<=x<=4,则-3<=t<=3，x=t+1,
y=-1/t与y=2sinπ(t+1)=-2sinπt都是奇函数，
画示意图知，0<t<=2时两个函数图像没有交点，2<t<=3时两个函数图像有2个交点，设其横坐标为t1,t2,
由对称性知上述两个函数有4个交点，其横坐标之和
t1+t2-t1-t2=0,
∴函数y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和=4.

Answer 4

设t=x-1,-2<=x<=4,则-3<=t<=3，x=t+1,
y=-1/t与y=2sinπ(t+1)=-2sinπt都是奇函数，
画示意图知，0<t<=2时两个函数图像没有交点，2<t<=3时两个函数图像有2个交点，设其横坐标为t1,t2,
由对称性知上述两个函数有4个交点，其横坐标之和
t1+t2-t1-t2=0,
∴函数y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和=4.