Question

已知数列{an}中，a1=1,n属于N*，an>0,数列{an}的前n项和为Sn，且满足a(n+1)=2/[S(n+1)+Sn-1]

求证：数列{(Sn-1/2)^2}为等差数列，并求数列{an}的通项公式

Answer 1

证明：当n>=2时有a（n+1）=S（n+1）-Sn
由a(n+1)=2/[S(n+1)+Sn-1]得S（n+1）-Sn=2/[S(n+1)+Sn-1]
即[S(n+1)]^2-(Sn)^2-S(n+1)-Sn=2
即[S(n+1)-1/2]^2-[Sn-1/2]^2=2
所以数列{(Sn-1/2)^2}是以2为公差，S1-1/2=a1-1/2=1/2为首项的等差数列
所以Sn-1/2=1/2+2(n-1)
即sn=2n-1
当n=1时S1=1适合sn=2n-1
所以{Sn}通项是sn=2n-1
于是an=Sn-S(n-1)=2n-1-(2(n-1)-1)=2
当n=1时a1=1不适合an=2
于是当n=1时a1=1
当n>=2时 an=2