Question

已知函数f(x)的定义域为[0,1],且同时满足①f(1)=4②若x∈[0,1],都有f(3)≥3③若X1≥0,X2≥0,X1﹢X2≤1

已知函数f(x)的定义域为[0,1],且同时满足①f(1)=4②若x∈[0,1],都有f(3)≥3③若X1≥0,X2≥0,X1﹢X2≤1，都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3
(1)求f(0)的值
(2)当x∈(1/3,1]时，求证：f(x)＜3x+3
(3)函数g(x)=x^2+2ax+40,若g(x)＞f(t),对任意的t∈[0,1],x∈[-5,5]恒成立，求a的取值范围

第一问已经做完了，求2、3问详细过程
P.S：原题的问题不是这三个，所以麻烦别贴原题答案来谢谢。
这句话【②若x∈[0,1],都有f(3)≥3】
应该是【②若x∈[0,1],都有f(x)≥3】

打错了不好意思……

Answer 1

分析：（1）令x1=x2=0可得，f（0）≤3，结合已知可知f（0）≥3，从而可求f（0）
（2）由已知可证，x∈(1/3，1]时，f（x）≤f（1）=4，3x+3＞4，可证

解答：
解：
（1）令x1=x2=0可得，f（0）≥2f（0）-3∴f（0）≤3
∵对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3
∴f（0）≥3
∴f（0）=3
（2）证明：当x∈(1/3，1]时，f（x）≤f（1）=4=1+3
x∈(1/3，1]时，3x+3＞3×1/3+3=4
∴f（x）＜3x+3
（3）任取x1＜x2∈[0，1]
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]≥f（x1）+f（x2-x1）-3
由x2-x1＞0可得f（x2-x1）≥3
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4
∴函数的最大值为4
∴当x∈[-5,5]时，g（x）＞4
∴△＜0，即4a²-160＜0，解得-2√10＜a＜2√10
g（x）对称轴为x=-a
∴①当-a≤-5（a≥5）时，g（-5）＞4，即25-10a+40＞4，a＜61/10
②当-5＜-a＜5﹙-5＜a＜5﹚时，g（-a）＞4，即a²-2a²+40＞4，-6＜a＜6
③当-a≥5（a≤-5）时，g（5）＞4，即25+10a+40＞4，a＞-61/10
∴综上所述，a的取值范围是（-6又1/10，6又1/10）

点评：本题主要考查了抽象函数利用赋值法求解函数的函数值，及利用构造法证明函数的单调性及由函数的单调性解不等式等知识的综合应用．

有疑问可以追问哦，。，。

Answer 2

（1）f(0)=3.
(2)令x1=x,x2=1-x,由③，①，
f(1)=4≥f(x)+f(1-x)-3,
f(x)+f(1-x)≤7,
f(1-x)≥3,
相减得f(x)≤4,
∴当x∈(1/3,1]时f(x)＜3x+3.
（3）g(x)=x^2+2ax+40＞f(t),对任意的t∈[0,1],x∈[-5,5]恒成立.
<==>h(x)=x^+2ax+36=(x+a)^+36-a^>0对x∈[-5,5]恒成立，
<==>a∈[-5,5]时36-a^>0,显然成立；
或a<-5,h(5)=10a+61>0,-6.1<a<-5;
或a>5,h(-5)=-10a+61>0,5<a<6.1.
综上，-6.1<a<6.1,为所求.

Answer 3

②若x∈[0,1],都有f(3)≥3，这句话有问题。。

追问

打错了……是f(x)≥3

追答

呵呵 我说呢 我再做做

追问

谢了

追答

第三问：要想让g(x)＞f(t),只要g(x)大于f(t)的最大值就行了，f(t)的最大值=f（1）=4
相信剩下的楼主可以自己完成

补充：证明f（x）在[0,1]上的单调性：

∵f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-3
所以移向就可以得到 f（x2）-f（x1）≥f（x2-x1）-3≥0
所以f（x）在[0,1]上单调递增。