Question

高数积分求体积问题

计算由两条抛物线y^2=x和x^2=y围成的图形的面积，面积我已经算出是1/3，有错可纠正。然后求所围成的图行围着Y轴旋转一圈得到的体积是？谢

Answer 1

图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积表达式为∫π*x^2dx
体积=∫π*(y^2)^2dx-∫π*ydx ; 积分下限是0，上限是1
=∫π*ydx-∫πy^4dx
=π*(1/2*y^2-1/5y^4)
=π*(1/2-1/5)
=1/3π

Answer 2

解两曲线得交点(0，0)，(1，1)
面积 = ∫(0→1) (√x - x²) dx
= (2/3)x^(3/2) - x³/3 |(0→1)
= 2/3 - 1/3
= 1/3
体积 = 2π∫(0→1) x(√x - x²) dx，柱壳法
= 2π∫(0→1) [x^(3/2) - x³] dx
= 2π • [(2/5)x^(5/2) - x⁴/4] |(0→1)
= 2π • (2/5 - 1/4)
= 3π/10
或体积 = π∫(0→1) [(√y)² - (y²)²] dy，盘旋法，这个做验算
= π∫(0→1) (y - y⁴) dy
= π • (y²/2 - y⁵/5) |(0→1)
= π • (1/2 - 1/5)
= 3π/10

Answer 3

（y^2=x）围着Y轴旋转一圈得到的体积（1/2π）-（x^2=y）围着Y轴旋转一圈得到的体积（1/5π）=3/10π

Answer 4

x2=y绕y轴所形成的所需的体积减去 y2=x 绕x轴的体积

Answer 5

好难啊。具体参考 高数的书吧