Question

求解一道初三数学题，要有详细过程【不跳步】速度！！！！

已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边三角形AEF两边分别交CD,CB于点E,F
1，特殊发现，如图1，若点E,F分别是边CD,CB的中点，求证菱形ABCD对角线AC,BD交点O为等边三角形AEF的外心
2若点E,F始终在边CD,CB上移动，记等边三角形AEF的外心为P
1）如图2，猜想等边三角形AEF的外心落在那一条直线上，并加以证明
2）如图3，当三角形AEF面积最小，过点P任意做一直线分别交DA于点M，交CD延长线于点N，试判断（1/DM)+(1/DN)是否为定值，若是，请求出定值，若不是，清说明理由

图由左至右分别为图1，图2，下面的是图3

Answer 1

1）证明：如图1，分别连接OE、0F，

           ∵四边形ABCD是菱形，

           ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，

           ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．

           ∠ADO=∠ADC=×60°=30°，

           又∵E、F分别为DC、CB中点，

           ∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，

           ∴0E=OF=OA，

           ∴点O即为△AEF的外心．

（2）解：

        ①猜想：外心P一定落在直线DB上．

  证明：       如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，

               ∴∠PIE=∠PJD=90°，

               ∵∠ADC=60°，

               ∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，

               ∵点P是等边△AEF的外心，

               ∴∠EPA=120°，PE=PA，

               ∴∠IPJ=∠EPA，

               ∴∠IPE=∠JPA，

               ∴△PIE≌△PJA，

               ∴PI=PJ，

               ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．

        ②1/DM+1/DN为定值2．

               当AE⊥DC时．△AEF面积最小，

               此时点E、F分别为DC、CB中点．

               连接BD、AC交于点P，由（1）

               可得点P即为△AEF的外心．

               如图3．设MN交BC于点G，

               设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y-1，

               ∵BC∥DA，

               ∴△GBP≌△MDP．

               ∴BG=DM=x．

               ∴CG=1-x

                          ∵BC∥DA，

               ∴△NCG∽△NDM，

               ∴CN/DN=CG/DM，

               ∴(y-1)/y=(1-x)/x，

               ∴x+y=2xy，

               ∴1/x+1/y=2，

               即1/DM+1/DN=2．