Question

求助 一道自主招生数学题

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a1，a2，a3，…．，试求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/dbb336c3-afa2-4310-8937-65525161e715

题目麻烦看这里，有解析。
想问的是解析中是如何从第五行直接化到第六行的？就是那两个完全平方怎麼配出来的？求解释，谢谢。

Answer 1

第五行的a1=a(n+1)-nd，是等差数列的定义.

第六行配方的目的是为了得到a+nd/2，利用前面的a+nd/2=S/(n+1)解题.
这个思路还不大好想.

这道题目是98年全国高中数学联赛的原题，柯西比较容易.

S=(n+1)[a(n+1)+a(2n+1)]/2
=(n+1)[a(n+1)+2a(n+1)-a1]/2
=(n+1)[3a(n+1)-a1]/2.
由柯西不等式得3a(n+1)-a1≤√[3²+(-1)²]·[a(n+1)²+a1²]=√(10M)
所以S≤√(10M)(n+1)/2.

追问

谢谢！感觉这个做法顺畅多了。不过还是想问一下，就算有了配方的思路，具体怎麼配啊？我知道是为了配出a+nd/2，可是还是不知道该怎麼配出系数和後面那个完全平方来…

追答

我要是配方的话会用待定系数法，不过比较麻烦.
(a-nd)²+a²=p(a+nd/2)²+q(a+rnd)²
p+q=2，p/4+qr²=1，p+2qr=-2，解出p，q，r

感觉你不在内地啊，打繁体字 ^_^

Answer 2

M≥a1^2+a(n+1)^2=(α-nd)2+a2=(4/10)(a+nd/2)^2+(1/10)(4a-3nd)2
其实就是硬凑出来的
(α-nd)2+a2=2a^2-2and+(nd)^2=k1(a+nd/2)^2+k2[a+k3(nd)]^2
k1+k2=2,k1+2k2k3=-2,k1/4+k2k3^2=1解上面的方程组得出k1,k2,k3即可

Answer 3

先打开，在化简

追问

那怎麼配出系数来啊？