Question

已知在数列{a∧n}中，a1=2，a2=4，且a∧（n+1）=3a∧n-2a∧（n-1），

已知在数列{a∧n}中，a1=2，a2=4，且a∧（n+1）=3a∧n-2a∧（n-1），（n≥2），求证：数列{a∧（n+1）-a∧n}为等比数列，并求数列{a∧n}的通项公式

Answer 1

证明：
当n≥2时，根据
a（n+1）=3a（n）-2a（n-1）
得
a（n+1）-a（n）=2a（n）-2a（n-1）=2[a（n）-a（n-1）]
所以，当n≥2时，数列a（n+1）-a（n）为公比为2的等比数列。
但是还要验证n=1的情况，也即要验证a(2)-a(1)是否也满足公比为2的等比数列的条件。
由于a(2)-a(1)=4-2=2
a(3)-a(2)=3a（2）-2a（1）-a(2)=2×4-2×2=4=2×2=2[a(2)-a(1)]
所以也满足条件。
所以，数列a（n+1）-a（n）为等比数列。
注意，必须验证n=1的情况！
考虑其通项公式，显然有
a（n+1）-a（n）=（a2-a1）×2^(n-1)=2^n
所以有
a（n）-a（n-1）=2^(n-1)
a（n-1）-a（n-2）=2^(n-2)
……
a3-a2=2^2
a2-a1=2^1
左右两边累加，得
a(n)-a1=a(n)-2=2^1+2^2+……+2^(n-1)
所以a(n)=2+2^1+2^2+……+2^(n-1)
=2^2+2^2+……+2^(n-1)
=……
=2^(n-1)+2^(n-1)
=2^n