Question

已知椭圆C的方程为x^2/8+y^2/4=1

设斜率为K的直线l,交椭圆C于A,B两点，AB的中点为M。证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上。

Answer 1

设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，M点坐标为(x，y)
∵ (x1)²/8+(y1)²/4=1 ①
(x2)²/8+(y2)²/4=1 ②
①-②得
(x1+x2)(x1-x2)/8+(y1+y2)(y1-y2)/4=0
∵ M为AB的中点
即 x1+x2=2x， y1+y2=2y
因为 K=(y1-y2)/(x1-x2),
∴ x/2+Ky=0.
即，y=-x/2K
∴ 动点M在一条过原点的定直线 y=-x/2K上
（此方法称为"点差法"）

Answer 2

中点弦问题。可以理由压缩变换将椭圆压缩为圆，然后利用垂径定理即可证明。

顺便，任何椭圆的所有平行弦中点轨迹都是一条线段。

追问

啥意思？？？

追答

按照4416210960的点差法可以做，解答似乎是完美的。
这个方法是为了规避计算而使用的压缩变换。如果这个没听懂的话解释起来比较麻烦，相对还是基础的点差法可以迅速掌握。