Question

初三数学难题 需详解

已知:如图,正方形ABCD中,AC、BD为对角线,点E是射线BC上一动点，连结AE，点F在射线CD上，∠EAF=45°，AE、AF交直线BD于点P、Q.连结EF、EQ.
（1）在下图中按要求补全图形，并探究：在E、F运动的过程中，∠AEQ的大小是否改变，若不变，求出它的度数；若改变，写出它的变化范围.
（2）探究△APQ与△AEF的周长的数量关系，写出结论并加以证明.

Answer 1

解：1.连FC,因为AD=CD DF=DF ∠ADF=∠CDF
∴△ADF≅△CDF
∴AF=CF
∠DAF=∠DCF
∴∠BAF=∠BCF(等角的余角相等)
又因为∠ABG=∠AFG=RT∠
∴∠ABG+∠AFG=180°
∴∠FAB+∠FGB=180°
∴∠FGC=∠FAB(同为∠FGB的补角)
∴∠FGC=∠FCG
∴AF=FG
注：用四点共圆证会很间捷。
2.连AG,△AFG是等腰直角三角形，
∴∠FAG=45°
∴∠DAE+∠BAG=45°
把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABH的位置，
则有AH=AE AG=AG DE=BH
∠HAG=∠DAE
∴∠HAB+∠BAG=∠DAE+∠BAG=45°=∠EAG
△BAG≅△EAG
∴EG=HG=HB+BG=DE+BG
因此EG=3+2=5

Answer 2

延长CD 至E'使ABE=ADE'，连结EQ,,CQ，,,,三角型E'AE是等腰直角好证，现说明，BAE=E'AD,,,又BAE＋EAD=90，,所以EAE'是直角，再就是证Q点在EE'直线上，用梅涅劳定理只要E'D/DC=E'Q/QE×BE/BC就行，，，，AEQ和AE'Q全等好证所以QE=QE'

又BE/BC=E'D/DC比较明显，，，所以根据三线合一，，，AQE是等腰直角，，AEQ是45度永远

第二问，，，由上一问的结论AE=根2倍AQ,,,,同理AF=根2倍AP,,,,,,这个同理我解释一下，就是在AB的左侧做ADF的全等ABF',,,同样P点具有Q点性质在AFF'这个等腰直角三角型斜边中点，，，以上两条加上公共角EAF推得APQ相似AFE,,,,,APQ=AEF的周长/根2，，，

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