Question

已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点

已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e= √3/2
（1）求椭圆E的方程（2）经过点A B两边分别做抛物线C的切线L1 L2 L1与L2交与一个点M，证明：AB垂直MF

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）抛物线C：x2=4y的焦点坐标为F（0，1），且是椭圆E的上顶点，短半轴b=1，
椭圆E的离心率e= √3/2，∴ c/ a=√3/2，a=2，c=√3，
椭圆E的标准方程是：x²/4+y²/1=1
（2）M在椭圆E上，AB为焦弦过F，AM与BM切抛物线C于A和B，
设A的坐标为A（x1，y1），B的坐标为B（x2，y2），
M的坐标为M（x3，y3），
抛物线C：x2=4y的切线AM的方程是：2（y+y1）=x1x，
按两点式切线AM的方程是：（y－y1）/（x－x1）=（y1－y3）/（x1－x3），
切线BM的方程是：2（y+y2）=x2x，
按两点式切线BM的方程是：（y－y2）/（x－x2）=（y2－y3）/（x2－x3），
焦弦AB的直线方程是：（y－y1）/（x－x1）=（y2－y1）/（x2－x1），
焦弦AB的直线方程是：（y－y1）/（x－x1）=（y1－1）/（x1－0），
焦弦AB的直线方程是：（y－y2）/（x－x2）=（y2－1）/（x2－0），
M（x3，y3）代入椭圆E的标准方程：（x3）²/4+（y3）²/1=1
解上联立方程组，可解得各点坐标值，从而可证得MF⊥AB。
用尝试—逐步逼近法求解——
设M（x3，y3）= M（0.653，－0.9452），
MFI法线方程的斜率k=（－0.99452－1）/0.653=－2.98
B（x2，y2）= B（2 .8284，2.00），
焦弦AB直线方程的斜率k′=（2.00－1）/（2.8284－0）=0.35356，
kk′=－1
检验点式切线BM的方程是：
（y－2.00）/（x－2.8284）=[2.00－（－0.9452）]/（2.8284－0.653）=2.9454/2.1754
2.1754 y－2.00×2.1754=2.9454x－2.9454×2.8284
y=1.354x－3.98
切线BM的方程是：2（y+y2）=x2x
2（y+2.00）=2.8284x
y=1.414x－4.0
斜率k的误差：1.354－1.414=－0.06，
截距b的误差：4.0－3.98=0.02。
这是最好的结果了，不论怎样逼近，斜率k的误差总在－0.06左右，

Answer 2

(1) x² = 4y = 2py, p = 2
F(0, 1)
b = 1, e² = c²/a² = (a² - b²)/a² = 1 - b²/a² = 1 - 1/a² = 3/4
a² = 4
x²/4 + y² = 1

(2)
设A(a, a²/4), B(b, b²/4), AB的方程: (y - b²/4)/(a²/4 - b²/4) = (x - b)/a - b)
4y = (a + b)x - ab
过F(0, 1): ab = -4 (i)

y = x²/4
y' = x/2
L1: y - a²/4 = (a/2)(x - a) (ii)
L2: y - b²/4 = (b/2)(x - b) (iii)
联立(ii)(iii): x = (a + b)/2, y = ab/4 = -4/4 = -1
M((a+b)/2, -1)
AB的斜率p = (a²/4 - b²/4)/(a - b) = (a + b)/4
FM的斜率q = (-1 - 1)/[(a + b)/2 - 0) = -4/(a + b)
pq = -1, AB垂直MF

Answer 3

（1）×2 = 4Y = 2PY，p = 2时
F（0，1）
b = 1的电子2 = C 2/2 =（2 - b 2中）/ 2 = 1 - b 2分配/ 2 = 1 - 1/2 = 3/4
一个2 = 4
×2/4 + Y 2 = 1

（2 ）
设A（，2/4），B（B，B 2/4），AB的方程：（Y - B 2/4）/（2/4 - B 2 / 4）=（ - ）/ - ）
4Y =（+ b的）× - 从头
F（0，1）：从头= -4（ⅰ）

Y = X 2/4
Y'= X / 2
L1：Y - 一个2/4 =（A / 2）（ - ）（二）
L2为：y - b 2/4 =（二/ 2）（ - ）（ⅲ）>同时（ⅱ）（ⅲ）：=（+）/ 2，为y =从头/ 4 = -4 / 4 = -1
M（（A + B）/ 2 - 1）
AB的斜率P =（2/4 - B 2/4）/（A - B ）=（+）/ 4

FM的斜率的q =（-1 - 1）/ [（+）/ 2 - 0）= -4 /（？？+ B）
PQ = -1，AB垂直MF