如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连
如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G....
如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
(1)求证:AE•FD=AF•EC;
(2)求证:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长. 展开
(1)求证:AE•FD=AF•EC;
(2)求证:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长. 展开
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(1)证明:∵CH⊥AB,DB⊥AB,
∴△ACE∽△ADF;
∴AE/AF=CE/FD
∴AE•FD=AF•EC
(2)证明:连接CB、OC;
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵F是BD中点,
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO.
∴∠OCF=90°,
又∵OC为圆O半径,
∴CG是⊙O的切线.
又BD是⊙O的切线
∴∠FCB=∠FBC
∴FC=FB
(3)由△AEH∽△AFB
∴AE/AF=CE/FD=HE/BF
∵HE=EC,
∴BF=FD,即点F是BD中点.
∵FC=FB=FE,
∴∠FCE=∠FEC.
∵∠FEC=∠AEH,
∴∠FCE=∠AEH,
∵∠G+∠FCE=90°,∠FAB+∠AEH=90°,
∴∠G=∠FAB,
∴FA=FG,
∵FB⊥AG,
∴AB=BG.
∵(2+FG)^=BG×AG=2BG^2①
∵BG^2=FG^2-BF^2②
由①、②得:FG^2-4FG-12=0
∴FG=6,或FG=-2(舍去)
∴AB=BG=4sqr(2)
∴⊙O半径为2sqr(2)
追问
(2)里F为什么是BD的中点
追答
CE/FD=HE/BF这个成立呀
把HE=EC代入CE/FD=HE/BF得HE/FD=HE/BF
约去HE呀有1/FD=1/BF
有FD=BF
F是BD的中点
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