Question

函数f(x)在点x0处可导，而函数g(x)在点x0处不可导，则f(x)＋g(x)在点x0处不可导。

函数f(x)在点x0处可导，而函数g(x)在点x0处不可导，则f(x)＋g(x)在点x0处不可导。这对不对？

Answer 1

可以确定,不可导.
反证法.以F(x)=f(x)+g(x)为例.
如果可导,由导数定义：lim(x->x0) [F(x)-F(x0)]/(x-x0) 存在.但是,
lim(x->x0) [F(x)-F(x0)]/(x-x0)
=lim(x->x0) [f(x)+g(x)-f(x0)-g(x0)]/(x-x0)
=lim(x->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0) + lim(x->x0) [g(x)-g(x0)]/(x-x0)
因为 f(x) 在 x0 处可导,而 g(x) 在 x0 处不可导,所以上式中,第一个极限存在而第二个极限不存在,因此 lim(x->x0) [F(x)-F(x0)]/(x-x0) 不存在,这与 F(x) 在 x0 处可导矛盾.因此 F(x) 不可导.

Answer 2

当然不对，对于这类问题，分段函数常常可以否定。
例如函数f（x）=1（x≥0）；0（x＜0）
g（x）=0（x≥0）；1（x＜0）
这两个函数在x=0处不可导（因为不连续）
但是f（x）+g（x）=1（x∈R）在x=0点处可导。
f（x）*g（x）=0（x∈R）在x=0点处可导。
所以这句话是错的。

Answer 3

高等数学对这道题的解析显示这句话是正确的，虽然我也不知道为什么