Question

三角形ABC中，若COSA＋COSB＝SINC，则三角形ABC的形状

Answer 1

解答:
三角形ABC中，若COSA＋COSB＝SINC，则三角形ABC是直角三角形

证明如下
cosA+cosB=sinC=sin[π-(A+B)]
∴ cosA+cosB=sin(A+B)
∴ cosA+cosB=sinAcosB+cosAsinB

∴ (cosA+cosB)²=(sinAcosB+cosAsinB)²
∴ cos²A+cos²B+2cosAcosB=sin²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B
∴ cos²A(1-sin²B)+cos²B(1-sin²A)+2cosAcosB-2sinAcosAsinBcosB=0
∴ 2cos²Acos²B+2cosAcosB-2sinAcosAsinBcosB=0
∴ 2cosAcosB(cosAcosB-sinAsinB+1)=0
∴ 2cosAcosB[cos(A+B)-1]=0
∵ cos(A+B)≠1
∴ cosA=0或cosB=0
∴ A=90°或B=90°
∴ 三角形ABC是直角三角形。