Question

高中数学 立体几何

Answer 1

连接AC，BE，
直角三角形ABC内，tanBAC=1/√3,∠BAC=30°，
同理∠EBC=30°
所以AC⊥DE
又，PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，
所以AC⊥平面PDE，
所以平面PAC⊥平面PBE

追答

E为原点，EP为z轴，EC为x轴，过E平行于CB为y轴。
P（0,0,√6）
A（-2√3,3,0）
B（√3,3,0）
C（√3,0,0）

设平面PAB方程为
ax十by十cz十d=0
P,A,B代入
√6c十d=0
-2√3a十3b十d=0
√3a十3b十d=0
后2式相减，3√3a=0,a=0
d=-√6c，
b=-d/3=√6c/3
方程（ √6c/3 ）y十cz-√6c=0
法向量（0,√6/3,1）

设平面PBC方程为ax十by十cz十d=0
P,B,C代入
√6c十d=0
√3a十3b十d=0
√3a十d=0
对照后两式，b=0
d=-√6c
a=-d/√3=√2c
方程
√2cx十cz-√6c=0
法向量（√2,0,1）

点积求余弦
=1/√（6/9十1）√（2十1）
=1/√5