Question

如果函数f(x)的定义域为（0，正无穷大），且f(x)为增函数，f(xy）=f(x)+f(y) (1)证明：f(x/y)=f(x)-f(y)

(2)已知f（3）=1,且f(a)大于f(a-1）+2,求a的取值范围。

Answer 1

分析：（1）结合抽象表达式用x/y代替x，y不变，即可转化即可获得问题f(x/y）=f(x)-f(y)的解答；（2）首先利用数值的搭配计算f（9）=2，进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调性，结合变形后的抽象函数即可获得变量a的要求，进而问题即可获得解答．

解答：
解：
（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），∴f(x/y)+f(y)=f(x/y×y)=f(x)
因此，满足 f(x/y)=f(x)-f(y)，
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2，
⇔a-1＞0，a＞0，f[(a-1)•9]＜f(a)；
⇔a＞1，(a-1)•9＜a
⇔1＜a＜9/8，
故a的取值范围（1，9/8）

点评：本题考查的是抽象函数及其应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、特值的思想、转化的思想以及计算和解不等式组的能力．值得同学们体会和反思．

有疑问可以追问哦，。，。