Question

已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1.f(x+1)-f(x)=2x，

（1）求f（x）；
（2）指出f（x）的图像可以通过y=x^2的图像如何平移得到。

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=1,f(x)=a*0^2+b*0+c=1 c=1 f(x)=ax^2+bx+1
f(x+1)-f(x)=2x,令x=0，代入：f(1+0)-f(0)=2*0
f(1)-f(0)=0, f(0)=1 f(1)=0+f(0)=1=ax^2+bx+1 x=1代入：
a+b+1=1 a+b=0
令x=1，代入： f(1+1)-f1)=2*1 f(2)=2+f(1)=2+1=3
x=2代入：a*2^2+b*2+1=3 4a+2b=2,由a+b=0，解方程： a=1,b=-1
f(x)=x^2-x+1
f(x)=(x-1/2)^2+3/4
f（x）的图像可以通过y=x^2的图像向右平移1/2个单位，再向上平移3/4个单位得到。

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
则：f(x+1)-f(x)=2ax+(a+b)=2x
所以：2a=2,a+b=0
a=1,b=-1
f(0)=c=1
所以：f(x)=x^2-x+1

f(x)=x^2-x+1=(x-(1/2))^2+(3/4)

f(x)是由y=x^2先向右平移1/2单位，然后再向上平移3/4单位所得到的。

Answer 3

f(0)=1f(x+1)-f(x)=2xf(1+0)-f(0)=2*0f(1)=1f(1+1)-f(1)=2*1f(2)=3设f(x)=ax^2+bx+c把f(0)=1,f(1)=1,f(2)=3代入到函数中1=c1=a+b+c3=4a+2b+c解得a=1,b=-1,c=1所以函数解析式为y=x^2-x+1y=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4该函数是开口向上,对称轴x=1/2的抛物线在[-1,1/2]为减函数,[1/2,0]为增函数所以最小值为x=1/2时,y=3/4当x=-1时有最大值,y=3