Question

高数定积分基础题，求解（要过程）

Answer 1

∫(- 1/2→1/2) (x²arcsinx + 1)/√(1 - x²) dx
= ∫(- 1/2→1/2) x²arcsinx/√(1 - x²) dx + ∫(- 1/2→1/2) 1/√(1 - x²) dx
x²arcsinx/√(1 - x²)是奇函数，1/√(1 - x²)是偶函数
= 0 + 2∫(0→1/2) 1/√(1 - x²) dx
= 2arcsin(x) |(0→1/2)
= 2(π/6 - 0)
= π/3

另解：
∫(- 1/2→1/2) (x²arcsinx + 1)/√(1 - x²) dx
= ∫(- 1/2→1/2) x²arcsinx/√(1 - x²) dx + ∫(- 1/2→1/2) 1/√(1 - x²) dx
z = arcsinx，sinz = x
= ∫(- π/6→π/6) zsin²z/cosz • (cosz dz) + ∫(- π/6→π/6) 1/cosz • (cosz dz)
= ∫(- π/6→π/6) zsin²z dz + [z] |(- π/6→π/6)
= 0 + π/6 + π//6
= π/3
zsin²z是奇函数