Question

f(x)=x-lnx(a+1)-a/x g(x)=x/2+e^x-xe^x

当x＜1时，若存在X1∈［e，e²］使得对任意的X2∈［-2,0］，f（X1)＜g（x2）恒成立，求a的取值范围

Answer 1

当a<1时，若存在X1∈［e，e²］使得对任意的X2∈［-2,0］，f（X1)＜g（x2）恒成立，即有[g(x2)]min>[f(x1)]min
f'(x)=1-(a+1)/x+a/x^2=(x-a)(x-1)/x^2

a<1时有在(0,a)U(1,+无穷）上是单调增函数，在(a,1)上是单调减函数。
又x1属于[e,e^2],故有在此区间上是递增的，故有f(x1)min=f(e)=e-(a+1)-a/e
g'(x)=1/2+e^x-(e^x+xe^x)=1/2-xe^x
g'(-2)=1/2+2e^(-1/2)>0,g'(0)=1/2>0
故有[g(x2)]min=g'(0)=1/2
故有1/2>e-(a+1)-a/e
1/2+1-e>-(a+a/e)
a(1+1/e)>e-3/2
a>(e^2-3/2e)/(e+1)
即范围是a>(e^2-3/2e)/(e+1)