Question

如图，求AB

Answer 1

解法如下:

先上图.

 

延处长AB至E,且CE⊥AE,过E点分别做AC和DB处长线的垂线,垂足分别为G,F.

∵∠ABC=135

∴∠CBE=45,△ECB是等腰直角三角形.

根据其斜边长2√5,求得BE=EC=√10

根据△BCD三边长的运算关系符合勾股定理,所以其为直角三角形,BD⊥AC

∵△ECG≌△EBF(三角相等,且一条边相等BE=EC=√10)

∴EG=EF,FB=CG.

∴四边形EGDF是正方形,设FB=X,其面积=(4-X)*(2+X)

四边形ECDB面积=S△ECB+S△BCD=√10*√10/2+4*2/2=5+4=9

∵△ECG≌△EBF

∴四边形EGDF面积=四边形ECDB面积=9

则有方程:(4-X)*(2+X)=9

解方程:8+4X-2X-X²=9

整理:X²-2X+1=0 (符合完全平方公式)

        (X-1)²=0

        X=1

FB=CG=1

(更简单的 算法:正方形边长相等:即:(4-X)=(2+X)  解得X=1)

我们看△BFE和△BDA它们 是相似的(三角相等)

则对应边成比例,

则有:FB/BD=BE/AB

AB=BD*BE/FB

     =2*√10/1=2√10

Answer 2

解：由题意可得：4²+2²=20 ﹙2√5﹚²＝20
∴△BDC是直角三角形
∵∠ABC=135°
∴∠A+∠C=45°
∵∠C+∠CBD=90°
∴∠CBD-∠A=45°
∵ ∠ABC=135°
∠ABC =∠ABD+∠CBD
两边同时减去45°
90°=∠ABD+∠A
∴BD垂直于AC
1,2，√5的比例可以知道∠CBD=arctan2
∠ABD=3/4π-arctan2

∵cos∠ABD=2/AB
∴AB=2/cos∠ABD

追问

那么，AB=？

Answer 3

解：由题意可得：4²+2²=20 ﹙2√5﹚²＝20
∴△BDC是直角三角形
∵∠BDC=∠BDA BD=BD
∴△BDC∽△BDA
∴AD＝4
AB=2√5

追问

∴△BDC∽△BDA

怎么可能

Answer 4

BD²＋CD²=BC² ∴BD⊥CD
设∠CBD=α，∠ABD=135º-α,2／AB=COS﹙135º-α﹚=COS135ºCOSα＋SIN135ºSINα
=﹣√10／10＋√10／5=√10／10，∴AB=2／﹙√10／10﹚=2√10

追问

抱歉，可以再算一遍吗，似乎不对呢

追答

没错啊，除非你抄错了题目
BD²＋CD²=BC² ∴BD⊥CD
设∠CBD=α，∠ABD=135º-α,2／AB=COS﹙135º-α﹚=COS135ºCOSα＋SIN135ºSINα
=﹣√10／10＋√10／5=√10／10，∴AB=2／﹙√10／10﹚=2√10
验算
当AB=2√10，∴AD=6
有余弦定理知COS∠ABC=AB²＋BC²﹣AC²／2×AB×AC=－√2／2=COS135º

Answer 5

设AB为x，那么用勾股定理求得AD，然后在三角形ABC中，用余弦定理

Answer 6

AD=4 AB=2根号3