Question

如图,在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的一点,求证：BD²+CD²=2AD²

如题

Answer 1

证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=1/2BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2，
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，
AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2×1/2BC×BC
=BD2+CD2，
即：BD2+CD2=2AD2．

Answer 2

证明：过点A作AF垂直BC于F
所以角AFD=角AFC=角AFB=90度
因为角BAC=90度
AB=AC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以AF=BF=CF=1/2BC
BC=BD+CD
由勾股定理得：
AD^2=AE^2+DE^2
AB^2+AC^2=BC^2
所以2AD^2=2AE^2+2DE^2=AB^2-BF^2+(BD-BF)^2+AC^2-CF^2-+CF-CD)^2
2AD^2=AB^2+AC^2+BD^2+BF^2-BF^2-2BD*BF-CF^2+CF^2-2CD*CF+CD^2
2AD^2=BC^2+BD^2+CD^2-2BF*(BD+CD)
2AD^2=BC^2+BD^2+CD^2-2*1/2BC*BC
2AD^2=BD^2+CD^2+BC^2-BC^2
BD^2+CD^2=2AD^2