Question

已知x,y,z都是正数,且3^x=4^y=6^z 1.求证:2xy=2yz+xz 2.比较3x,4y,6z的大小?

Answer 1

1、证明：设3^x=4^y=6^z=k
则lg3^x=lg4^y=lg6^z=lgk
所以x=lgk/lg3
y=lgk/lg4
z=lgk/lg6
所以1/z-1/x=lg6/lgk-lg3/lgk=(g6/3)/lgk=lg2/lgk （1）
又1/y=lg4/lgk=2lg2/lgk （2）
由（1）与（2）式得2(1/z-1/x)=1/y
去分母得2y(x-z)=xz
即2xy=2yz=xz
2、3x-4y=3lgk/lg3-4lgk/lg4=lgk(3lg4-4lg3)/(g3lg4)=lgk(lg64-lg81)<0即3x<4y
3x-6z=3lgk/lg3-6lgk/lg6=lgk(3lg6-6lg3)=lgk(lg216-lg243)<0即3x<6z
4y-6z=4lgk/lg4-6lgk/lg6=lgk(4lg6-6lg4)=lgk(lg1296-lg4096)<0即4y<6z
所以3x<4y<6z