Question

求极限limx→0 [(1+x)^k-1]/x(k为正整数)为什么答案是k 跪求详解，就是怎么化简出来的k，跪求各位大神解答

Answer 1

(1+x)^k次，展开系数，取带x那一项，就是系数为组合中的C(k在下面)1在上面=k
即kx那一项的。这里不好写，你查一下二项式系数，（杨辉三角），展开后除以x,
只有kx/x=x这项是x->0时的极限值。

追问

展开后除以x,
只有kx/x=k这项是x->0时的极限值。为什么呢

追答

其它的你可以算啊，这个展开式在这里不好写，你看一下就清楚，除了kx这一项，其它都带有x，x->0,自然这些带有x项的也->0，所以只有常数项不受x变化的影响，所以lim->0，如果再深究下去，那就使用极限的定义来求证，也能证明这个结论。

追问

除了kx这一项，其它都带有x，为什么要除了kx，他又不是常数项

Answer 2

其实这题考的是等价无穷小
等价无穷小：(1+x)^n -1 ~nx 这是公式
故lim(x→0) [(1+x)^k-1]/x
=lim(x→0) kx/x
=k

追问

等价无穷小：(1+x)^n -1 ~nx 这是公式。
可是课本上有n√1+x约等于1+(1/n)x,也就是1+x的1/n次方等价于1+(1/n)x，与您给的公式不符啊（少个+1）

追答

额 (1+x)^(1/n)这可不等价于等价于1+(1/n)x 是约等于而不是无穷小 无穷小是极限为0
其实你说的这个和我给的在某种意义上是一样的 我并没有少1 只是1 放在另一边减掉
即(1+x)^(1/n) -1 另一边为(1/n)x 因为这才能是等价无穷小

追问

cu xin le fei chang gan xie!!

Answer 3

罗比塔法则

分子分母同时求导

limx→0 [(1+x)^k-1]'/x'=k(1+x)^(k-1)/1
limx→0 k(1+x)^(k-1)=k

追问

这个简单明了，虽然不是答案的做法，但是很精辟，谢谢。