Question

函数f(x)=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|的最小正周期为

Answer 1

由f(x)的表达式可知，sinx和cosx相互置换后结果不变。f(x＋π/2)=|sin(x＋π/2)＋cos(x＋π/2)|＋|sin(x＋π/2)-cos(x＋π/2)|=|cosx-sinx|＋|cosx＋sinx|=f(x)；可见π/2为f(x)的周期，下面证明π/2是f(x)的最小正周期。考察区间[0，π/2]，当0≦x≦π/4时，f(x)=2cosx，f(x)单调递减，f(x)由2单调递减至√2；当π/4≦x≦π/2时，f(x)=2sinx，f(x)单调递增，f(x)由√2单调递增至2；由此可见，在[0，π/2]内不存在小于π/2的周期，由周期性可知在任何长度为π/2的区间内均不存在小于π/2的周期；所以π/2即为f(x)的最小正周期。

Answer 2

在零到2派内考虑f的解析式，根据函数图像分析正弦和余弦的大小即可