Question

一道几何证明题

Answer 1

证明：将三角形CAD绕点A顺时针旋转30度，得到三角形DAE，连接CE,DE
所以三角形CAD和三角形EAD全等
所以AC=AE
CD=ED
角DAE=30度
因为角CAD=30度
角CAE=角CAD+角DAE
所以角CAE=60度
所以三角形CAE是等边三角形
所以AC=EC
角ACE=60度
因为AC=AD
所以角ACD=角ADC
因为角ACD+角ADC+角CAD=180度
所以角ACD=75度
因为角ACD=角ACE+角ECD
所以角ECD=15度
因为角ACB=角ACD+角BCD=90度
所以角BCD=15度
所以角ECD=角BCD=15度
因为AC=BC
所以EC=BC
因为CD=CD
所以三角形ECD和三角形BCD全等（SAS)
所以BD=ED
所以CD=BD

Answer 2

从题中可知：角BAC=角CBA=45度，角DAC=30度，角ACD=角ADC=75度，角DCB=15度
设AC=BC=AD=1，CD=x，DB=y
按余弦定理：x^2=1+1-2*cos(30度)，y^2=1+x^2-2*x*cos(15度)
将x^2整理得2*(1-cos(30度))，代入到y^2表达式
半角公式：cos15度=(1+cos(30度))/2
平方差公式：1-cos^2(30度)=(1-cos(30度))*(1+cos(30度))
三角形恒等式：sin^2(30度)+cos^2(30度)=1
将以上3个公式代入y^2表达式后得：
y^2=x^2+1-2*x*(sin(30度)/x)，取sin(30度)=1/2，化简得：
y^2=x^2，y>0，x>0，可证y=x，即CD=BD。

Answer 3

证明：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=AC/2。
∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中

∠CED=∠CFD∠ECD=∠FCDCD=CD​

∴△CED≌△CFD，
∴CF=CE=AC/2=BC/2
∴CF=BF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDF，
∴BD=CD．

Answer 4

 

过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．

∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°

∴CE=1/2AC

∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°

∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°

∠CED=∠CFD   ①

∠ECD=∠FCD   ②

CD=CD              ③

由①②③得△CED≌△CFD

∴CE=CF=1/2AC=1/2BC

∴CF=BF

∴Rt△CDF≌Rt△BDF

∴BD=CD

Answer 5

解答在图上：