Question

在圆XX+YY-2x-6y=0内 过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为多少

希望能有详细的解答过程 谢谢你们的帮助

Answer 1

应为点E在圆内所以最长的弦就是过E的直径AC 而最短的就是垂直于AC的BD（垂径定理），画个图吧,面积可以用ABC与ADC两个三角形的和来求，或者用ABD与CBD这两个三角形求。

S总＝S（ABC）+S(ADC)=AC乘BD/2 

AC=2R=2倍根10

BD＝2倍根号下(R^2-OE^2)=2倍根5

所以面积为10倍根2

Answer 2

x²+y²-2x-6y=0
(x-1)²+(y-3)²=10
圆心坐标（1，3）
半径=√10
直径=2√10
最长弦AC是直径=2√10
弦心距=根号{10-[(1+4)]}=√5
最短弦BD=2根号(10-5)=2√5
因为AC和BD相互垂直
所以：
四边形ABCD的面积=AC*BD/2
=2√10*2√5/2
=10√2

追问

我这一点学点很糊涂 圆的标准方程是（x-a)²+（y-b)²=r² 化简就是x²+y²+a²+b²-2ax-2by=r² 那通过题中给的条件x²+y²-2x-6y=0 -2x-6y这俩个等价于-2ax-2by 就求出a b 是 1和3那之前化简的里面还有a²+b²去哪里了呢 还有后面整理得到的式子里(x-1)²+(y-3)²=10 10是怎么得到的呢

Answer 3

过圆内一点的最长弦是直径，最短弦是与直径垂直的弦。所以AC和BD是垂直的。那么四边形ABCD的面积就可以用对角线乘积的一半这个公式来求。
把圆的方程整理一下，变成(x-1)²+(y-3)²=10 圆心O（1,3）半径R=√10
则AC=2√10 用两点间距离公式求出OE=√5 用垂径定理求出BD=2√5
S=1/2×2√10×2√5=10√2

追问

我这一点学点很糊涂 圆的标准方程是（x-a)²+（y-b)²=r² 化简就是x²+y²+a²+b²-2ax-2by=r² 那通过题中给的条件x²+y²-2x-6y=0 -2x-6y这俩个等价于-2ax-2by 就求出a b 是 1和3那之前化简的里面还有a²+b²去哪里了呢 还有后面整理得到的式子里(x-1)²+(y-3)²=10 10是怎么得到的呢

追答

看出是1和3之后，现在有了x²-2x,就相当于有了a²-2ab，缺一个b²,而b=1，所以如果能再加上一个1，那么就能配成(x-1)²这个样子了，所以就在等式左右两边同时加上1，这样式子的值就不变了。
同理，有了y²-6y,知道b=3,所以缺一个9，就在等式左右两边同时加一个9，等式左边就变成
(x-1)²+(y-3)²,右边有一个1有一个9，加起来就是10了。
缺什么就在左右两边一起加，如果不是等式，是方程的话，就先加上再减去。
比如说 y=x²-2x，如果想配成完全平方式的话，就变成y=x²-2x+1-1=(x-1)²-1
这样能懂吗？