Question

不定积分题目求详解

上面那个不清晰的话看这个。高分求五题全部详解

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Answer 1

　　第2题

中的-3/2应为(3/2)(-3/2) = -9/4，……，所以答案是D。

　　其它的楼上答了。

Answer 2

1d，分子分母同乘(cosx+sinx)后分母应为1+sin2x
2d，你的方法没错，只是算错数了，倒数第三行那个应该是-9/4∫e^(2x)sin3xdx
3a，=-∫Insinxdcotx=-cotxInsinx+∫cotx*cosxdx/sinx=-cotxInsinx+∫(cotx)^2dx=-cotxInsinx+∫[(cscx)^2-1]dx=-cotxInsinx-cotx-x+C
4a，令u=(cosx)^(1/2),则u^2=cosx,2udu=-ainxdx,dx=-2udu/sinx，所以积分=∫-2tanxudu/usinx=-2∫du/cosx=-2∫du/u^2=2/u+C=2/(cosx)^(1/2)+C
5c，令u=x^(1/2),则(4-x)^(1/2)=(4-u^2)^(1/2),du=dx/2x^(1/2)=dx/2u，所以积分=∫2udu/u*(4-u^2)^(1/2)=∫2du/(4-u^2)^(1/2)=2∫d(u/2)/[1-(u/2)^2]^(1/2)=2arcsinu/2+C
完了

Answer 3

1. (D) 2. (D) 3. (A) 4. (A) 5. (C)

1. 选D。
(cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=(cos(x)-sin(x))(cos(x)+sin(x))/(cos(x)+sin(x))^2
=cos(2x)/(1+2sin(2x))，因此D不正确。

2. 选D。
拿e^(2x)分部积分，原式=1/2*e^(2x)*sin(3x)- 3/2*∫(e^(2x)*cos(3x)) dx ...(1)
拿sin(3x)分部积分，原式=-1/3*e^(2x)*cos(3x)+2/3*∫(e^(2x)*cos(3x)) dx ...(2)
(1)*(2/3)+(2)*(3/2)，消去积分(e^(2x)*cos(3x))，即可求解：

13/6*∫ (e^(2x)*sin(3x)) dx = 1/3*e^(2x)*sin(3x)-1/2*e^(2x)*cos(3x)。
∫ (e^(2x)*sin(3x)) dx = 1/13*(2*e^(2x)*sin(3x)-3*e^(2x)*cos(3x))。

楼主前两个式子正确，第三步好像是代错了。

3. 选A。
把1/sin^2(x)先变到d里，成-cot(x)，然后分部积分。

原式=-cot(x)*In(sin(x))+∫(cot(x))^2dx= -cot(x)*In(sin(x))+∫ ((cscx)^2-1)dx = -cot(x)*ln(sin(x)) - cot(x) - x +C。

4. 选A。
原式= ∫ -(cos(x))^(-3/2) d(cos(x)) = -2/√(cos(x)) + C。

5. 选C。
原式=∫ 2/√(1-(√x/2)^2)* d(√x/2) = 2 arcsin(√x/2) + C。

追问

第一题的a.c选项为什么正确？

追答

1. (a) 原式分子=d(sin(x)-cos(x))，所以原式=∫ d(sin(x)-cos(x))/(sin(x)+cos(x))，故正确。

1. (c) d tan(x) = sec² (x) = 1+tan²(x) dx，所以 dx = d tan(x) /(1+tan²(x))
原式分子分母同除cos(x)，得(1-tan(x))/(1+tan(x))，
原式= ∫ (1-tan(x))/(1+tan(x)) /(1+tan²(x)) d tan(x)
= (1+tan²(x)-tan(x)(1+tan(x))/((1+tan(x))(1+tan²(x))) d tan(x)
=1/(1+tan(x))-tan(x)/(1+tan²(x)) d tan(x)，故正确。