Question

线性代数矩阵的秩

线性代数矩阵的秩我有一个问题为什么矩阵乘不可逆矩阵其秩小于矩阵的秩？比如图中这道题B+E不可逆，因此r(A(B+E))小于r(A)

Answer 1

这不是普遍结论。
当 A 为 零矩阵时，r[A(B+E)] = r(A), 故应为 r[A(B+E)] ≤ r(A)。
因为 r[A(B+E)] ≤ min{r(A), r(B+E)}, 当 r(B+E) < r(A) 时， 才有 r[A(B+E)] < r(A).

Answer 2

这里是应用了一个定理：r(AB)≤r(A)且r(AB)≤r(B)，通常写为r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

追问

矩阵这个性质我知道，为什么这里B+E不可逆时r(A(B+E))是小于r(A)?而不是小于等于，或者说：为什么矩阵乘不可逆矩阵其秩小于矩阵的秩？

追答

这里是反过来推理的。r(A(B+E))=1是题目给出的条件。如果B+E可逆，则r(A(B+E))=r(A)=2，矛盾，所以B+E不可逆。
矩阵乘可逆矩阵其秩等于于矩阵的秩，但矩阵乘不可逆矩阵其秩不一定小于矩阵的秩。

Answer 3