Question

已知一个圆x^2+y^2-4x+2y+1=0 直线x-2y-1=0

求过直线与圆交点和3，2的圆的方程 为什么可以圆可以设成x^2+y^2-4x+2y+1+d（x-2y-1）=0

Answer 1

因为满足要求的点要同时满足x^2+y^2-4x+2y+1=0 和x-2y-1=0
则x^2+y^2-4x+2y+1+d(x-2y-1)=0+d*0=0

Answer 2

所求圆过直线与圆交点，就可以设所求圆的方程为x^2+y^2-4x+2y+1+d（x-2y-1）=0
为什么可以这样设呢？
设直线L：x-2y-1=0与圆C：x^2+y^2-4x+2y+1=0交点坐标为（ x0,y0)
则交点坐标（ x0,y0)也满足x-2y-1=0与x^2+y^2-4x+2y+1=0
即有 x0-2y0-0=0 且 x0^2+y0^2-4x0+2y0+1=0
但把（x0,y0)代入方程x^2+y^2-4x+2y+1+d（x-2y-1）=0也会成立。这就说明方程x^2+y^2-4x+2y+1+d（x-2y-1）=0过交点（x0,y0),这个方程又是圆的方程的一般形式又过交点，所以可以这样设。这叫直线圆系方程（形式是C+dL=0)。还有过圆与圆交点的圆系方程的设法。如圆C1 ,C2 可设为形式为C1+dC2=0，道理是一样的。