Question

如图，抛物线y=a（x+2）2+k与x轴交于A，0两点

如图，抛物线y=a（x+2）2+k与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点．设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S．P（m，n）是新抛物线上一个动点，且满足2m2+2m-n-w=0．
（1）求新抛物线的解析式．
（2）当m=-2时，点F的坐标为（-2w，w-4），试判断直线DF与AE的位置关系，并说明理由．
（3）当w的值最小时，求△AEP的面积与S的数量关系．

Answer 1

解：（1）由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4），可设其抛物线解析式为：y=a（x+2）2-4，代入原点坐标，得：
a（0+2）2-4=0，a=1
∴原抛物线解析式：y=（x+2）2-4=x2+4x；
那么，新抛物线解析式为 y=x2+4x+4．

（2）直线DF与AE的位置关系为 DF∥AE．理由如下：
当m=-2时，P（-2，0）；
把点 P（-2，0）代入2m2+2m-n-w=0中，可得：8-4-0-w=0，w=4，所以点F（-8，0）；
易求得A（-4，0）、D（-4，4）、E（0，4）；
那么FA=AO=4∠DAF=∠EOA=90°DA=EO=4，∴△DAF≌△EOA；
∴∠DFA=∠EAO，则 DF∥AE．

（3）连接DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积；
所以S=S四边形AOED=4×4=16．
因为点P（m，n）是新抛物线上的一点，所以 n=m2+4m+4，
又因为点P的坐标满足2m2+2m-n-w=0，所以 w=2m2+2m-n=2m2+2m-（m2+4m+4）=（m-1）2-5．
当m=1时，w取最小值-5，此时n=9，即点P的坐标为（1，9）．
过点P作PH⊥x轴于H，如右图；
S△AEP=S△APH-S△AOE-S梯形EOHP
=12×5×9-12×4×4-12（4+9）×1
=8；
所以S△AEP=12S．

Answer 2

(1) k=-4
抛物线y=a(x+2)²-4与x轴交于O（0，0）点
a=1
原抛物线的解析式：y=(x+2)²-4
新抛物线的解析式：y=(x+2)²

追问

(2)(3)tangram_guid_1360984137671?

追答

(2) 原抛物线的解析式与x轴的交点A
y=(x+2)²-4=0
得A(-4,0) 、O(0,0)
则D(-4,4)、E(0,4)
AE的直线解析式为：y=x+4
设DF的直线解析式为：y=kx+b
即 -4=-4k+b
w-4=-2w+b
2m²+2m-n-w=0
m=-2
n=(m+2)²
解得：DF的直线解析式为：y=-3x+8
直线AE、DF相交
(3) w=2m²+2m-n
n=(m+2)²
w=3m²+6m+4
=3(m+1)²+1
当w最小时，m=-1
则P点坐标为（-1，1）
S△AEP=S△AEO-S△APP'-S梯形EPOP' (PP'//y轴且与x轴的交点）
=4*4/2-3*1/2-(1+4)*1/2=4
0 0
S=∫ (X+2)²-[(X+2)²-4] dx=-4x|=16
-4 -4
S=4 S△AEP