Question

数学题求大神解决

掷n面色子，每掷1次都把得到的数字记下来，掷到他们的和能被n整除则停。求平均要掷多少次
原题
A fair n-sided die is rolled repeatedly and the sum of the rolls is recorded. The process stops as soon as
the recorded sum is divisible by n. What is the expected number of rolls when the process stops?最好有个详细过程。。3q

Answer 1

首先抛色子应该是均匀分布
所以每个面的概率都是1/n
抛一次得出的点数的数学期望EX=Σi*1/n i=1→n
EX=1/n·Σi i=1→n=1/n·n（n+1）/2=(n+1)/2
抛j次点数的和的数学期望
ΣEX i=1→j = j·(n+1)/2
由题意有 ΣEX i=1→j =n· k k∈N
于是 j·(n+1)/2= n· k
j=[n/(n+1)]·2k k∈N
由题意知 n≥2 于是
当n=2p时 k=2p+1 k∈N p∈N
j=2n
当n=2p+1时 k=p+1 k∈N p∈N
j=n

于是 当n为奇数 抛n次 当n为偶数 抛2n次

追问

EX=Σi*1/n i=1→n
EX=1/n·Σi i=1→n=1/n·n（n+1）/2=(n+1)/2
这个式子是什么意思。。能解释下吗

追答

Σ 是求和 i=1→n 是下标i=1 上标n 就是对i=1至i=n求和

追问

还有俩问题。。第一EX=1/n·Σi i=1→n=1/n·n（n+1）/2=(n+1)/2这个式子能具体写下吗。。注意上下角标。。。因为我要写过程。。光写个结果是不行的。第二 n=2p时。k为什么是2p+1能解释下吗。。麻烦了

追答

EX=Σi*1/n i=1→n
EX=1/n·Σi i=1→n=1/n·n（n+1）/2=(n+1)/2
因为输入法所以造成这样，
n n n
EX= Σ i * 1/n = 1/n * Σ i = 1/n * n * ( n+1 ) /2 Σ i 即 1+2+…+n
i=1 i=1 i=1

n=2p时 j=[n/(n+1)]·2k = 2p/2p+1 * 2k ∵ j,k,p ∈ N 且 2p 与 2p+1互质（relatively prime） ∴ 2k=2p+1
同理 p 与 p+1 互质 所以当n=2p+1的时候 k=p+1

追问

答案不一样的。。。上面你说的是n=2p时 k=2p+1所以答案是2n
下面你说的是n=2p时 2k=2p+1所以答案是n。。。到底哪个是对的

追答

答案分情况 N为偶数
N为奇数

追问

不是。。。你再看看。。同是偶数的情况。。你说了两个答案。。上面和下面

追答

N=2P 是偶数
N=2P+1 是奇数
你是说这里吧
n=2p时 j=[n/(n+1)]·2k = 2p/2p+1 * 2k ∵ j,k,p ∈ N 且 2p 与 2p+1互质（relatively prime） ∴ 2k=2p+1
（同理 p 与 p+1 互质 所以当n=2p+1的时候 k=p+1）这句话是针对N=2P+1的情况的

追问

2k=2p+1时那结果就是n了。。这和你之前说的n=2p时答案是2n结果不同了。我是想问这个。。

追答

2K=2P+1 是n=2P+1 时的计算结果 也就是说 n=2p+1时 j=[n/(n+1)]·2k 这个式子的解 2k 最小值是2p+1。

追问

当n=2p时 k=2p+1 k∈N p∈N
j=2n
当n=2p+1时 k=p+1 k∈N p∈N
j=n
这是你的原话。上面也是你的原话。。。我应该听哪个。。。。

追答

哪有矛盾？这不是分成两种情况吗 N=2P就是N取偶数 N=2P+1就是N取奇数 这两种情况J的期望值不同。哦 我可能写错了吧
追问当n=2p时 k=2p+1 k∈N p∈N
j=2n
当n=2p+1时 k=p+1 k∈N p∈N
j=n
K=2p+1 (这里写错了2k是不可能等于2P+1的)
这没有问题啊

追问

你能不能看清楚在了再说啊？？我知道是分情况。。我说的是。。在同是偶数的情况下。我多次问你。你跟我说的结果不一样。你能不能！！！！！再把你回答的重新看1遍。。。
当n=2p时 k=2p+1 k∈N p∈N
j=2n

这是你第一次说的。
n=2p时 j=[n/(n+1)]·2k = 2p/2p+1 * 2k ∴ 2k=2p+1
同理 p 与 p+1 互质 所以当n=2p+1的时候 k=p+1
这是你第二次说的 你看能一样吗

追答

K=2p+1 (这里写错了2k是不可能等于2P+1的)

Answer 2

n次。
思路：第一次掷骰子时，只有当数字为n时才停，即概率为1/n；
假设第一次为p（p≠n），则第二次掷骰子必须为（n-p）才能停，概率还是1/n；
假设第二次为q（q≠n-p），则第三次掷骰子必须为（k*n-p-q）【k为正整数，且0<k*n-p-q<n】才能停，概率还是1/n；
以此类推，第x次掷骰子必须为（k*n-s）【k为正整数，s为之前所掷得的数之和，0<k*n-p-q≤n】才能停，概率还是1/n；
所以每掷一次停下来的概率是1/n，求平均掷多少次才能停，即概率达到1时的次数，
1次的概率是1/n，要使概率达到1则要把概率乘以n，所以平均要掷的次数为1*n=n次。
（1除以1/n=n）

Answer 3

求平均……神马意思？
你干脆自己扔扔看算下。
平均这种说法是指最多还是最少还是最多和最少的平均数……
我貌似认为是最后一种。

Answer 4

A fair n-sided die is rolled repeatedly and the sum of the rolls is recorded. The process stops as soon as
the recorded sum is divisible by n. What is the expected number of rolls when the process stops?最好有
个详细过程。。3q
这是什么意识

追问

这是原题。。我想要详细的过程。。3q就是thank you

追答

A fair n-sided die is rolled repeatedly and the sum of the rolls is recorded. The process stops as soon as
the recorded sum is divisible by n. What is the expected number of rolls when the process stops?
英语题目

Answer 5

估计是2的n次方且n≥4

Answer 6

应该是n次