Question

数学（高中）

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为（1，3） ①若方程f(x)=0的两根一个大于-3，另一个小于-3，求a的取值范围；②若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式。

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>-2x的解集为（1，3）
即a<0, 且ax^2+(b+2)x+c=0的两个根为1，3
故有1+3=-(b+2)/a
1*3=c/a
得：b=-4a-2, c=3a
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
f(x)的两根一个大于-3， 另一个小于-3，因为a<0, 所以必有f(-3)>0
即9a+3(4a+2)+3a>0
得：a>-1/4
故a的取值范围是(-1/4, 0)

(II)
二次函数f(x)=ax²+bx+c,不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）
说明a＜0，方程f(x)+2x=0的两根为1,3
于是ax²+（b+2)x+c=0两根为1,3
根据韦达定理，-(b+2)/a=1+3=4,c/a=1×3=3
所以b=-4a-2,c=3a
函数化为f(x)=ax²-（4a+2）x+3a
方程f(x)+6a=0有两个相等的根
则ax²-（4a+2）x+9a=0,△=16a²+16a+4-36a²=0
解得a=1(因为a＜0，舍去），a=-1/5
b=-6/5,c=-3/5
所以f(x)=-1/5x²-6/5x-3/5

Answer 2

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