Question

高一数学，详细过程，谢谢!

若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数 ②对任意实数x,都有f（x-π/4）=f(x+π/4),则下列函数中，符合上述条件的有：
①f(x)=cos4x ②f(x)=sin(2x+π/2) ③f(x)=sin(4x+π/2) ④f(x)=cos(3π-4x)

已知函数f(x)=2mx^2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是

三个数0.7^6、6^0.7、㏒0.7^6的大小关系

Answer 1

（1）若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数 ②对任意实数x,都有f（x-π/4）=f(x+π/4),则下列函数中，符合上述条件的有：①③④

①f(x)=cos4x ②f(x)=sin(2x+π/2) ③f(x)=sin(4x+π/2) ④f(x)=cos(3π-4x)
②f(x)=sin(2x+π/2)=cos2x
③f(x)=sin(4x+π/2)=cos4x
④f(x)=cos(3π-4x)=-cos4x
（2）已知函数f(x)=2mx^2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
m>0
f(x)=2mx^2-2(4-m)x+1=2m(x+1/2)^2-(m+16)x/2+1
当x≤0时，有
-(m+16)x/2+1>0
即m>0，f（x）与g（x）至少有一个为正数。
所以实数m的取值范围是(0,+∞)
（3）三个数0.7^6、6^0.7、㏒0.7^6的大小关系
0<0.7^6<1
6^0.7>1
㏒0.7^6<0
㏒0.7^6<0.7^6<6^0.7

追问

对任意实数x,都有f（x-π/4）=f(x+π/4）是什么意思，我没看懂？

追答

由f(x)=cos4x 得
f（x-π/4）=cos（4x-π）=cos[（4x-π）+2π]=cos（4x+π）
f(x+π/4）=cos（4x+π）
所以f（x-π/4）=f(x+π/4）
所以①③④对任意实数x,都有f（x-π/4）=f(x+π/4),

追问

第二题的答案是（0,8），我算的是（0，4），你能不能再看一下

追答

对不起，多打了个x。
f(x)=2mx^2-2(4-m)x+1=2m(x+1/2)^2-8x-m/2+1
当x=0时，f(x)=1>0
当x=-1/2时，f(x)=5-m/2>0,得m0,得m<8
即0<m<8，f（x）与g（x）至少有一个为正数。
所以实数m的取值范围是(0,8)

追问

你的这种方法我没看懂，不过我找到了另一种，你看一下在
m>0是确定的
①x轴》0，得m﹙0,4]
②x轴<0和Δ<0,取交集得﹙4,8﹚
这样做对不对？

追答

不好意思，回答晚了。希望还有用。
（1）f(x)=2mx^2-2(4-m)x+1=2m(x+1/2)^2-8x-m/2+1，g(x)=mx
当x>0时，g(x)>0；当x≤0时,2m(x+1/2)^2-8x>0,如果-m/2+1≥0则有f(x)>0。
得m≤2
即00，有f(x)>0，f（x）为正数
（3）当m≥8时，x>0时，g(x)>0；x≤0时,g(x)≤0；而-(m-2)(m-8)/2m≤0，此时取2m(x-2/m+1/2)^2=0有
x-2/m+1/2=0
得x=2/m-1/2<0
所以总可以找到一点x=2/m-1/2<0，使f(x)=-(m-2)(m-8)/2m≤0，即总有x<0，使f（x）与g（x）不能同时为正数。
综合（1）、（2）和（3）得0<m<8，f（x）与g（x）至少有一个为正数。
所以实数m的取值范围是(0,8)